Wir haben das bestimmte Integral als "orientierten Flächeninhalt" zwischen Kurve und \(x\)-Achse interpretiert. Lag das Kurvenstück unterhalb der \(x\)-Achse, dann haben wir einen negativen Wert erhalten. Lag das Kurvenstück oberhalb der \(x\)-Achse, dann haben wir einen positiven Wert erhalten. Wir haben hier immer vom kleineren Randwert zum größeren Randwert des Intervalls integriert.

Wir können aber auch die Intervallgrenzen vertauschen, so dass die untere Intervallgrenze größer ist als die obere Intervallgrenze. Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert sich dann das Vorzeichen des Integrals.

Wir betrachten die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit

\(\qquad f(x)=e^x\)

und berechnen \(\displaystyle\int \limits _{0}^1 f(x)\, dx\) und \(\displaystyle\int \limits _{1}^0 f(x)\, dx\):

\(\qquad \displaystyle\int \limits _{0}^1 f(x) \, dx = \displaystyle\int \limits _{0}^1 e^x \, dx\) \(=\Big[e^x\Big]_{0}^1\) \(=e^1-e^0=e-1\)

\(\qquad \displaystyle\int \limits _{1}^0 f(x) \, dx = \displaystyle\int \limits _{1}^0 e^x \, dx\) \(=\Big[e^x\Big]_{1}^0\) \(=e^0-e^1=1-e\)

Und somit ist:

\(\qquad \displaystyle\int \limits _{0}^1 e^x \, dx =- \displaystyle\int \limits _{1}^0 e^x \, dx\)