Intervalladditivität Partielle Integration
Bei der partiellen Integration bei bestimmten Integralen müssen die Integrationsgrenzen berücksichtigt werden.
Partielle Integration:
Sind \(u,v:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) zwei differenzierbare Funktionen, so gilt für \(a<b\) mit \(a,b\in D\):
\(\qquad \displaystyle\int \limits _a ^b u(x)\cdot v'(x) \, dx=\Big[u(x)\cdot v(x)\Big]_a^b - \displaystyle\int \limits _a ^b u'(x)\cdot v(x)\, dx\)
Beispiel:
Wir berechnen das folgende Integral \(\displaystyle\int \limits _0 ^\pi x\cdot \cos(x) \, dx\) mit partieller Integration. Hierzu setzen wir:
\(\qquad\) | \(u(x)=x\quad\) \(v'(x)=\cos(x)\quad\) | und damit\(\quad\) und damit\(\quad\) | \(u'(x)=1\) \(v(x)=\sin(x)\) |
Wir berechnen das Integral mit partieller Integration:
\(\qquad \displaystyle\int \limits _0 ^\pi u(x)\cdot v'(x)\, dx\ \) \(=\Big[\overbrace{u(x)}^{x}\cdot \overbrace{v(x)}^{\sin(x)}\Big]_0^\pi -\displaystyle\int \limits _0 ^\pi \overbrace{u'(x)}^{1}\cdot \overbrace{v(x)}^{\sin(x)}\, dx\)
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int \limits _0 ^\pi x\cdot \cos(x)\, dx\quad\) | \(=\Big[x\cdot \sin(x)\Big]_0^\pi-\displaystyle\int \limits _0 ^\pi 1 \cdot \sin(x))\, dx\) \(=\Big[ x\cdot \sin(x)\Big]_0^\pi-\Big[-\cos(x)\Big]_0^\pi\) \(= (\pi \cdot \sin(\pi)-0\cdot \sin(0))-(-\cos(\pi)+\cos(0))\) \(= -(-(-1)+1)=-2\) |
\(\enspace\)