Partielle Integration Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f:\,]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{2x-1}\) Berechnen Sie \(\displaystyle\int \limits _1^2 f(x) \, dx\). Erklärung Lösung: \(\qquad \displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{2x-1}\, dx = 4\cdot \ln(2)+\dfrac{1}{2}\cdot \ln(3)\) Schaubild  Erläuterung: Wir können aus dem Integral über der Summe von zwei Funktionen eine Summe aus zwei Integralen machen: \(\qquad \displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{2x-1}\, dx = \displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{4}{x}\, dx +\displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{1}{2x-1}\, dx \) Wir holen aus dem ersten Integral der rechten Seite den konstanten Term als Faktor vor das Integral: \(\qquad \displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{2x-1}\, dx= 4 \cdot \displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{1}{x}\, dx +\displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{1}{2x-1}\, dx \) Wir führen beide Integrationen auf der rechten Seite der Gleichung durch, wobei wir bei der Berechnung des rechten Integrals lineare Verkettung anwenden: \(\qquad \displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{2x-1}\, dx = 4 \cdot \Big[\ln(x)\Big]_1^2 +\dfrac{1}{2}\cdot \Big[\ln(2x-1)\Big]_1^2\) \(\phantom{\qquad \displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{2x-1}\, dx} = 4 \cdot (\ln(2)-\ln(1)) +\dfrac{1}{2} \cdot(\ln(3)-\ln(1))\) \(\phantom{\qquad \displaystyle \int \limits _1^2\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{2x-1}\, dx} = 4 \cdot \ln(2) +\dfrac{1}{2}\cdot\ln(3)\) |  |
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