Aufgabe 1 Aufgabe 2
Gegeben ist die folgende zusammengesetzte Funktion \(f:\,[-3,3]\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\left\{\begin {array} {}1 & \textsf{für} & -3\le x\le -1 \\ x^2-1 & \textsf{für} & -1\lt x\le 1 \\ -x+3 & \textsf{für} & 1\lt x\le 3 \end {array} \right.\) Berechnen Sie \(\displaystyle \int \limits _{-3}^3 f(x)\, dx\). Erklärung Lösung: \(\qquad \displaystyle\int \limits _{-3}^3 f(x) \, dx =\dfrac{8}{3}\) Schaubild  Erläuterung: Wir nutzen die Intervalladditivität, um das Integral zu berechnen: \(\qquad \displaystyle\int \limits _{-3}^{3} f(x) \, dx = \displaystyle\int \limits _{-3}^{-1} 1 \, dx+ \displaystyle\int \limits _{-1}^1 x^2-1 \, dx+ \displaystyle\int \limits _1^3 -x+3 \, dx\) \(\qquad \phantom{\displaystyle\int \limits _{-3}^3 f(x) \, dx} = \Big[x\Big]_{-3}^{-1}+ \left[\dfrac{x^3}{3}-x\right]_{-1}^1 + \left[-\dfrac{x^2}{2}+3x\right]_1^3\) \(\qquad \phantom{\displaystyle\int \limits _{-3}^3 f(x) \, dx} =\underbrace{-1-(-3)}_{\Large{2}}+ \underbrace{\left(\dfrac{1^3}{3}-1\right)- \left(\dfrac{(-1)^3}{3}-(-1)\right) }_{-\dfrac{4}{3}}+\underbrace{ \left(-\dfrac{3^2}{2}+3\cdot 3\right)-\left (-\dfrac{1^2}{2}+3\cdot 1\right)}_{\Large{2}}\) \(\qquad \phantom{\displaystyle\int \limits _{-3}^3 f(x) \, dx} =2 - \dfrac{4}{3}+2=\dfrac{8}{3}\) |  |
\(\enspace\)