Lernmodul: Integrale und Flächen

Functions

PreviousAufgabe 2 
  Unterschied zwischen bestimmtem Integral und Fläch… Next

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\sin(x)\cdot \cos (x)\)
Berechnen Sie \(\displaystyle \int \limits _0^{\pi/2} f(x) \, dx\).
Lösung:
\(\qquad \displaystyle \int \limits _0^{\pi/2}\sin(x)\cdot \cos (x)\, dx=\dfrac{1}{2}\)
Erläuterung:
Die partielle Integration wird angewendet, wenn der Integrand aus einem Produkt zweier Funktionen besteht.
Partielle Integration:\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2}u(x)\cdot v'(x) \, dx = \Big[u(x)\cdot v(x)\Big]_0^{\pi/2} - \displaystyle \int _0^{\pi/2} u'(x)\cdot v(x) \, dx\)
Es gibt bei dieser Funktion zwei Möglichkeiten, die partielle Integration anzuwenden. Beide Möglichkeiten führen zur Lösung:
1. Möglichkeit:
\(\qquad\)
\(u(x)=\sin(x)\qquad\)
\(v'(x)=\cos(x)\qquad\)
\(u'(x)=\cos(x)\)
\(v(x)=\sin(x)\)
\(\qquad\)
Wir wenden partielle Integration an:
\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx\enspace\) \(= \Big[\overbrace{\sin(x)}^{u(x)}\cdot \overbrace {\sin(x)}^{v(x)}\Big]_0^{\pi/2}-\displaystyle\int _0^{\pi/2}\overbrace {\cos(x)}^{u'(x)}\cdot \overbrace {\sin(x)}^{v(x)}\, dx\)
\(\phantom{\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx\enspace}\) \(= \Big[\sin^2(x)\Big]_0^{\pi/2}-\displaystyle\int _0^{\pi/2}\cos(x)\cdot \sin(x)\, dx\)
Wir bringen das Integral von der rechten Seite auf die linke Seite und vereinfachen die Gleichung:
\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx +\displaystyle\int _0^{\pi/2}\cos(x)\cdot \sin(x)\, dx\) \(= \Big[\sin^2(x)\Big]_0^{\pi/2}\)
Hierzu fassen wir die beiden Integrale der linken Seite zusammen:
\(\qquad 2\cdot \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx \) \(= \Big[\sin^2(x)\Big]_0^{\pi/2}\)
Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch \(2\):
\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot \Big[\sin^2(x)\Big]_0^{\pi/2}\)
Wir berechnen das Integral:
\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot (\sin^2(\frac{\pi}{2})-\sin^2(0))=\dfrac{1}{2}\)
\(\qquad\)Wir erhalten das folgende Integral:
\(\qquad\displaystyle \int \limits _0^{\pi/2}\sin(x)\cdot \cos (x)\, dx=\dfrac{1}{2}\)
2. Möglichkeit:
\(\qquad\)
\(u(x)=\cos(x)\qquad\)
\(v'(x)=\sin(x)\qquad\)
\(u'(x)=-\sin(x)\)
\(v(x)=-\cos(x)\)
\(\qquad\)
Wir wenden partielle Integration an:
\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx\enspace\) \(= \Big[\overbrace{\cos(x)}^{u(x)}\cdot \overbrace {(-\cos(x))}^{v(x)}\Big]_0^{\pi/2}-\displaystyle\int _0^{\pi/2}\overbrace {-\sin(x)}^{u'(x)}\cdot \overbrace {(-\cos(x))}^{v(x)}\, dx\)
\(\phantom{\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx\enspace}\) \(= \Big[-\cos^2(x)\Big]_0^{\pi/2}-\displaystyle\int _0^{\pi/2}\sin(x)\cdot \cos(x)\, dx\)
Wir bringen das Integral von der rechten Seite auf die linke Seite und vereinfachen die Gleichung:
\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx +\displaystyle\int _0^{\pi/2}\cos(x)\cdot \sin(x)\, dx\) \(= \Big[-\cos^2(x)\Big]_0^{\pi/2}\)
Hierzu fassen wir die beiden Integrale der linken Seite zusammen:
\(\qquad 2\cdot \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx \) \(= \Big[-\cos^2(x)\Big]_0^{\pi/2}\)
Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch \(2\):
\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot \Big[-\cos^2(x)\Big]_0^{\pi/2}\)
Wir berechnen das Integral:
\(\qquad \displaystyle \int _0^{\pi/2} \sin(x)\cdot \cos(x) \, dx \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot (-\cos^2(\frac{\pi}{2})+\cos^2(0))=\dfrac{1}{2}\)
\(\qquad\)Wir erhalten das folgende Integral:
\(\qquad\displaystyle \int \limits _0^{\pi/2}\sin(x)\cdot \cos (x)\, dx=\dfrac{1}{2}\)
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
PreviousAufgabe 2 
  Unterschied zwischen bestimmtem Integral und Fläch… Next