Ist die Funktion \(f(x)\) im Intervall \([a,b]\) nicht negativ, so ist das bestimmte Integral \(\displaystyle\int _a^b f(x)\, dx\) der Flächeninhalt der von der Funktion \(f(x)\), der \(x\)-Achse und den Geraden \(x=a\) und \(x=b\) eingeschlossenen Fläche.

Betrachten wir ein Intervall, wo die Funktion \(f(x)\) sowohl oberhalb als auch unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, so werden die Flächen oberhalb der \(x\)-Achse mit einem positiven Vorzeichen versehen und die Flächen unterhalb der \(x\)-Achse mit einem negativen Vorzeichen und die Flächenanteile beim Berechnen des Integrals miteinander verrechnet.

Soll keine Verrechnung der negativen mit den positiven Flächenanteilen erfolgen, sondern der Gesamtwert der Fläche ermittelt werden, so muss über den Betrag von \(f\) integriert werden.

Es ist also ein Unterschied, ob der Flächeninhalt gesucht ist oder der Wert des Integrals.

Betrachten wir die Funktion \(f(x)=\sin(x)\).

Wir berechnen das bestimmte Integral im Intervall \([-\pi,\pi]\):

\(\qquad \displaystyle\int \limits _{-\pi} ^{\pi} \sin(x) \, dx=\Big[-\cos(x)\Big]_{-\pi}^{\pi}=1-1=0\)

Wir berechnen die Fläche zwischen Funktion und \(x\)-Achse im Intervall \([-\pi,\pi]\). Da der Sinus punktsymmetrisch ist, genügt es, das Integral im Intervall \([0,\pi]\) zu berechnen und den Wert zu verdoppeln:

\(\qquad \displaystyle\int \limits _{0} ^{\pi} \sin(x) \, dx=\Big[-\cos(x)\Big]_{0}^{\pi}=-\cos (\pi)-(-\cos(0))=1+1=2\)

Die Fläche zwischen Funktion und \(x\)-Achse im Intervall \([-\pi,\pi]\) beträgt somit \(4\) Flächeneinheiten (FE).