Unterschied zwischen bestimmtem Integral und Fläch… Fläche zwischen Funktion und x-Achse
Möchte man die Fläche ausrechnen, die zwischen Funktion und \(x\)-Achse zwischen den Geraden \(x=a\) und \(x=b\) liegt, so geht man wie folgt vor:
1.\(\enspace\) | Man berechnet erst die Nullstellen \(x_1, x_2, \ldots , x_k\) der Funktion im Intervall \([a,b]\). |
2.\(\enspace\) |  Dann berechnet man den Inhalt der einzelnen Teilflächen: \(A_1 = \left|\displaystyle\int \limits _a ^{x_1} f(x) \, dx \right|\) \(A_2 = \left|\displaystyle\int \limits _{x_1} ^{x_2} f(x) \, dx \right|\) \(\ldots\) \(A_{k+1} = \left|\displaystyle\int \limits _{x_k} ^{b} f(x) \, dx \right|\) |
3.\(\enspace\) | Schließlich addiert man die einzelnen Teilflächen: \(A=A_1+A_2+\ldots +A_{k+1}\) |
Falls keine Nullstellen im Intervall \([a,b]\) vorhanden sind, so beträgt die gesuchte Fläche:
\(\phantom{\textsf{3.}}\enspace\) | \(A = \left|\int \limits _a ^b f(x) \, dx \right|\) |
Beispiel:
Gesucht ist die Fläche zwischen der Funktion \(f(x)=x^2-1\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([-1,3]\).
1.\(\enspace\) | Die Nullstellen der Funktion befinden sich bei \(x_1=-1\) und \(x_2=1\). |
2.\(\enspace\) | Berechnen der Teilflächen: \(A_1 = \left|\displaystyle\int \limits _{-1} ^{1} x^2-1 \, dx \right|\) \(=\left|\Big[\dfrac{x^3}{3}-x\Big]_{-1}^1 \right|\) \(\phantom{A_1}=\left|\left(\dfrac{1^3}{3}-1\right)-\left(\dfrac{(-1)^3}{3}+1\right) \right|\) \(=\left|\dfrac{2}{3}-2 \right|=\left|-\dfrac{4}{3} \right|=\dfrac{4}{3}\) \(A_2 = \left|\displaystyle\int \limits _{1} ^{3} x^2-1 \, dx \right|\) \(=\left|\Big[\dfrac{x^3}{3}-x\Big]_{1}^3 \right|\) \(\phantom{A_2}=\left|\left(\dfrac{3^3}{3}-3\right)-\left(\dfrac{1^3}{3}-1\right) \right|\) \(=\left|6+\dfrac{2}{3} \right|=\dfrac{20}{3}\) |
3.\(\enspace\) | Addition der Teilflächen: \(A=A_1+A_2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{20}{3}=8\) |
Die gesuchte Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten (FE).
\(\enspace\)