Fläche zwischen zwei Funktionen Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=2-\dfrac{1}{3}\cdot e^{-x}\) Das Schaubild der Funktion und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche. Erklärung Lösung: \(\qquad A=\left|\ {\displaystyle \int \limits _{-\ln(6)}^0 2-\dfrac{1}{3}\cdot e^{-x}\, dx }\,\right |=2\ln(6)-\dfrac{5}{3}\approx 1.92\) Der Inhalt der Fläche beträgt ca. \(1.92\) Flächeneinheiten. Schaubild  Erläuterung: Wir suchen zuerst die Nullstellen der Funktion: \(\qquad f(x)=0\) \(\qquad 2-\dfrac{1}{3}\cdot e^{-x}=0\) \(\qquad \implies \dfrac{1}{3}\cdot e^{-x}=2\) \(\qquad \implies e^{-x}=6\) Wir logarithmieren auf beiden Seiten: \(\qquad \ln(e^{-x})=\ln(6)\) \(\qquad \implies -x=\ln(6)\) \(\qquad \implies x=-\ln(6)\) Wir berechnen nun die Fläche zwischen der Kurve und den Koordinatenachsen: \(\qquad A=\left|\ {\displaystyle \int \limits _{-\ln(6)}^0 2-\dfrac{1}{3}\cdot e^{-x}\, dx}\,\right |= \left|{\left[2x+\dfrac{1}{3}\cdot e^{-x}\right]_{-\ln(6)}^0 }\right|\) \(\phantom{\qquad A}= \left|\,{2\cdot 0+\dfrac{1}{3}\cdot e^{0}-\left(2\cdot (-\ln(6))+\dfrac{1}{3}\cdot e^{-(-\ln(6))}\right)}\right|\) \(\phantom{\qquad A}=\left|\,{ \dfrac{1}{3}-\left(-2\ln(6)+\dfrac{1}{3}\cdot e^{\ln(6)}\right)}\right|\) \(\phantom{\qquad A}= \left|\,{\dfrac{1}{3}+2\ln(6)-\dfrac{1}{3}\cdot 6}\,\right|\) \(\phantom{\qquad A}=\left|\,{ \dfrac{1}{3}+2\ln(6)-2}\,\right|=\left|\,{2\ln(6)- \dfrac{5}{3}}\,\right|\approx 1.92\) Der Inhalt der Fläche beträgt ca. \(1.92\) Flächeneinheiten. |  |
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