Aufgabe 1 Aufgabe 2
Gegeben sind die Funktionen \(f:\,]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) und \(g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\dfrac{1}{x}\) \(\qquad g(x)=x\) Die Schaubilder von \(f\) und \(g\) und die Gerade \(x=4\) begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Flächeninhalt. Erklärung Lösung: \(\qquad A=\left|\ {\displaystyle \int \limits _{1}^{4} \dfrac{1}{x}-x\, dx}\,\right|\approx 6.11\) Der Inhalt der Fläche beträgt ca. \(6.11\) Flächeneinheiten. Schaubild  Erläuterung: Wir berechnen die Schnittstellen der Funktionen: \(\qquad f(x)=g(x)\) \(\qquad \dfrac{1}{x}=x\) \(\qquad \implies x^2=1\qquad x_1=1 \qquad x_2=-1\) Die Stelle \(x_2=-1\) liegt außerhalb des betrachteten Bereichs \([1,4]\) und wird deshalb nicht berücksichtigt. Die Funktionen schneiden sich in \(x_1=1\). Wir berechnen nun die Fläche zwischen den beiden Kurven im Intervall \([1,4]\): \(\qquad A=\left|\ {\displaystyle \int \limits _{1}^{4} \dfrac{1}{x}-x\, dx}\,\right|=\left|\,{ \left[ \ln(x)-\dfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{4}}\,\right| \) \(\phantom{\qquad A}=\left|\ { \ln(4)-\dfrac{4^2}{2}-\left( \ln(1)-\dfrac{1^2}{2}\right)}\,\right|=\left|\ {\ln(2^2)-8+\dfrac{1}{2}}\,\right|=\left|\ { 2\ln(2)-\dfrac{15}{2}}\,\right|\approx 6.11\) Der Inhalt der Fläche beträgt ca. \(6.11\) Flächeneinheiten. |  |
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