Bei einer Kurvendiskussion wird sehr häufig die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) als Grundmenge vorausgesetzt. Der maximale Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, für die die Funktion definiert ist.

Bei ganzrationalen Funktionen ist der maximale Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\). Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind die Nullstellen des Nenners nicht im Definitionsbereich enthalten. Bei Wurzelfunktionen ist der Definitionsbereich auf nicht-negative Radikanden eingeschränkt. Bei Logarithmusfunktionen muss man darauf achten, dass das Argument nur positiv sein kann.

Um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden, sucht man den Funktionswert an der Stelle \(0\). Man berechnet also \(f(0)\). Eine Funktion kann maximal einen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse haben. Den \(y\)-Wert im Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse nennt man \(y\)-Achsenabschnitt. Den Punkt auf der \(y\)-Achse bezeichnet man mit \(S_y\).

Um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden, löst man die Gleichung \(f(x)=0\). Die \(x\)-Werte der Schnittpunkte bezeichnet man mit Nullstellen.

Häufig beschränkt man sich bei der Untersuchung des Graphen der Funktion auf die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung.

Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion ist, dass die Tangente an den Graphen im Extrempunkt die Steigung \(0\) aufweist.

Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema von zweimal differenzierbaren Funktionen sind:

Ist sowohl \(f'(x_0)=0\) als auch \(f''(x_0)=0\), so kann man ohne weitere Untersuchungen keine Aussage über die Extremstelle treffen.

Man kann auch ohne das Berechnen der zweiten Ableitung den Nachweis erbringen, ob die Funktion Extremstellen hat.

Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema sind:

Die Monotonie wechselt in Hoch- und in Tiefpunkten. Der Wert der ersten Ableitung entscheidet über das Monotonieverhalten:

Als Wendepunkt bezeichnet man die Punkte, in denen der Graph zwischen Links- und Rechtskrümmung wechselt. 

Eine dreimal differenzierbare Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle \(x_0\), wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

\(\qquad f''(x_0)=0\qquad\) und \(\qquad f'''(x_0)\ne 0\)

Auch bei den Wendepunkten ist es nicht notwendig auf die dritte Ableitung zurückzugreifen, um eine Aussage treffen zu können. Man kann auch mit dem Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung argumentieren.

Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle \(x_0\), wenn gilt:

\(\qquad f''(x_0)=0\qquad\) und \(\qquad f''\) hat einen Vorzeichenwechsel an der Stelle \(x_0\)

Die Krümmung wechselt im Wendepunkt. Der Wert der zweiten Ableitung entscheidet über das Krümmungsverhalten:

Polstellen und Definitionslücken betrachtet man häufig bei gebrochen-rationalen Funktionen.

Eine gebrochen-rationale Funktion hat eine Polstelle oder eine Definitionslücke an der Stelle \(x_0\), wenn das Nennerpolynom an der Stelle \(x_0\) eine Nullstelle hat.

Ist die Vielfachheit der Nullstelle \(x_0\) im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle \(x_0\) im Zähler, dann hat die Funktion an der Stelle \(x_0\) eine Polstelle. An Polstellen besitzt die Funktion eine vertikale Asymptote.

Ist die Vielfachheit der Nullstelle \(x_0\) im Nenner kleiner oder gleich der Vielfachheit der Nullstelle \(x_0\) im Zähler, dann hat die Funktion an der Stelle \(x_0\) eine stetig hebbare Definitionslücke.

Trigonometrische Funktionen sind oft periodische Funktionen. Es gilt für periodische Funktionen mit der Periode \(p\):

\(\qquad f(x+p)=f(x)\)

Interessiert ist man häufig an der primitiven Periode.

Das Verhalten der Funktion im Unendlichen erhält man, indem man den Grenzwert der Funktionswerte für \(x\) gegen \(\pm \infty\) untersucht. Man untersucht die Funktion also dahingehend:

\(\qquad \lim \limits_{x\to-\infty}f(x)\qquad\) und \(\qquad \lim\limits_{x\to\infty}f(x)\)

Oft nähern sich Funktionen für \(x\to \pm \infty\) einer horizontalen oder schiefen Asymptoten an.

Schiefe Asymptoten lassen sich an den Grenzwerten von \(f\) im Unendlichen nicht erkennen. Hierfür betrachtet man für geeignete \(a,b\in\mathbb{R}\)

\(\qquad \lim \limits_{x\to-\infty} \dfrac {f(x)}{ax+b}\qquad\) und \(\qquad \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac {f(x)}{ax+b}\)

Liegen alle Informationen zum Schaubild der Funktion vor, so kann man die Funktion skizzieren. Bei einer Skizze werden die charakteristischen Eigenschaften der Funktion in ein Schaubild eingezeichnet.

Es ist nicht notwendig, eine genaue Zeichnung zu erhalten, bei der jeder Punkt exakt ermittelt wird. Die charakteristischen Punkte wie Hoch- und Tiefpunkte und Wendepunkte müssen jedoch exakt in den Graphen eingezeichnet werden.