Beispiel einer gebrochen-rationalen Funktion Definitionsbereich und Asymptoten
Geben Sie den Definitionsbereich, die Polstellen und die Asymptoten der Funktion an. Skizzieren Sie die Funktion und ihre Asymptoten.
Die Funktion
\(\qquad f(x)=\dfrac{3x^2}{2x-1}\)
hat Definitionslücken an den Stellen, an denen der Nenner den Wert \(0\) annimmt. Wir suchen also die Nullstellen des Nenners.
\(\qquad 2x-1=0\qquad \implies \qquad x_1=\dfrac{1}{2}\)
Da das Zählerpolynom an der Stelle \(x_1\) keine Nullstelle hat, handelt es sich um eine Polstelle. Die Funktion hat also eine Polstelle bei \(x_1=\frac{1}{2}\) und somit die vertikale Asymptote \(x=\frac{1}{2}\).
Der Definitionsbereich lautet:
\(\qquad D=\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}\)
Da der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms, wächst der Funktionswert betragsmäßig über alle Grenzen für \(x\) gegen \(\pm \infty\).
Für die betrachtete Funktion ist der Zählergrad genau um \(1\) größer als der Nennergrad. Die Funktion hat also eine schiefe Asymptote, die man durch Polynomdivision erhält.
\(\qquad 3x^2 : (2x-1)=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4(2x-1)}\)
Polynomdivision
\(\enspace \quad 3x^2\hspace{3em}:(2x-1)=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}+\frac{3}{4(2x-1)}\)
\(\underline{-\,(3x^2-\ \,\frac{3}{2}x)\quad\quad}\)
\(\quad \hspace{3.5em} \frac{3}{2}x\)
\(\enspace \hspace{2.5em}\underline{-\,(\frac{3}{2}x-\frac{3}{4})}\)
\(\hspace{6.5em}\ \frac{3}{4}\)
\(\underline{-\,(3x^2-\ \,\frac{3}{2}x)\quad\quad}\)
\(\quad \hspace{3.5em} \frac{3}{2}x\)
\(\enspace \hspace{2.5em}\underline{-\,(\frac{3}{2}x-\frac{3}{4})}\)
\(\hspace{6.5em}\ \frac{3}{4}\)
Die schiefe Asymptote hat die Gleichung
\(\qquad y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{4}\)
\(\enspace\)