Symmetrie Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte
Berechnen Sie die Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte. Skizzieren Sie die Funktion und ihre ersten beiden Ableitungen in ein Koordinatensystem. Kennzeichnen Sie Extrema und Wendepunkte im Schaubild.
Um Extrema und Wendepunkte zu berechnen, benötigen wir die ersten zwei Ableitungen der Funktion.
\(\qquad f(x)=\dfrac{3x^2}{2x-1}\)
\(\qquad f'(x)=\dfrac{6x^2-6x}{(2x-1)^2}\)
\(\qquad f''(x)=\dfrac{6}{(2x-1)^3}\)
Berechnung der 1. Ableitung
Wir verwenden zur Berechnung der Ableitung die Quotientenregel:
\(\qquad f'(x)=\dfrac{(3x^2)'\cdot (2x-1)-3x^2\cdot (2x-1)'}{(2x-1)^2}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{6x\cdot (2x-1)-3x^2\cdot 2}{(2x-1)^2}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{12x^2-6x-6x^2}{(2x-1)^2}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{6x^2-6x}{(2x-1)^2}\)
Berechnung der 2. Ableitung
Wir verwenden zur Berechnung der Ableitung die Quotientenregel:
\(\qquad f''(x)=\dfrac{(6x^2-6x)'\cdot (2x-1)^2-(6x^2-6x)\cdot ((2x-1)^2)'}{(2x-1)^4}\)
\(\phantom{\qquad f''(x)}=\dfrac{(12x-6)\cdot (2x-1)^2-(6x^2-6x)\cdot 2\cdot (2x-1)\cdot 2}{(2x-1)^4}\)
Wir kürzen \((2x-1)\)
\(\qquad f''(x)=\dfrac{(12x-6)\cdot (2x-1)-(6x^2-6x)\cdot 2\cdot 2}{(2x-1)^3}\)
\(\phantom{\qquad f''(x)}=\dfrac{24x^2-12x-12x+6-24x^2+24x}{(2x-1)^3}\)
\(\phantom{\qquad f''(x)}=\dfrac{6}{(2x-1)^3}\)
Die Funktion hat eine Extremstelle bei \(f'(x)=0\), wenn \(f''\) an dieser Stelle ungleich \(0\) ist:
\(\qquad f'(x)=\dfrac{6x^2-6x}{(2x-1)^2}=0\)
Wir multiplizieren mit dem Nenner, der laut Definitionsbereich nicht \(0\) werden kann, und erhalten:
\(\qquad 6x^2-6x=6x(x-1)=0\)
Wir wenden den Satz vom Nullprodukt an und erhalten die beiden Nullstellen
\(\qquad x_2=0\quad \) und \(\qquad x_3=1\)
Nun müssen wir die zweite Ableitung an diesen Stellen überprüfen:
\(\qquad f''(0)=\dfrac{6}{(2\cdot 0-1)^3}=\dfrac{6}{-1}<0\)
An der Stelle \(x_2=0\) liegt also der Hochpunkt \(S_y(0\,|\,0)\).
\(\qquad f''(1)=\dfrac{6}{2\cdot 1-1}=6>0\)
An der Stelle \(x_3=1\) liegt also ein Tiefpunkt. Der Tiefpunkt lautet \(T(1\,|\,3)\).
Zur Berechnung der Wendepunkte setzen wir die 2. Ableitung gleich \(0\):
\(\qquad f''(x)=\dfrac{6}{(2x-1)^3}=0\)
Wir multiplizieren mit dem Nenner, der laut Definitionsbereich nicht \(0\) werden kann, und erhalten:
\(\qquad 6=0\)
Diese Gleichung hat keine Lösung, d.h. die Funktion hat keine Wendepunkte.
\(\enspace\)