Beispiele Definition einer Aussage
Definition:
Eine Aussage \(A\) ist ein Satz, der in einem gegebenen Kontext eindeutig wahr oder falsch ist.
Schreibweise: | \(\quad\) | \(\mathrm{w}\enspace\) | für | \(\enspace\) | "wahr" |
\(\mathrm{f}\enspace\) | für | "falsch" |
Es kommt bei einer Aussage nicht darauf an, dass man tatsächlich weiß, ob der Satz wahr oder falsch ist. Der Satz "Morgen wird es schneien." ist bereits heute eine Aussage. Aber erst morgen wird sich zeigen, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
Beispiele:
Die folgenden sprachlichen Formulierungen sind Aussagen:
- \(A_1: \enspace\)Berlin liegt nördlich von Hamburg.
Es handelt sich hierbei um eine falsche Aussage. - \(A_2: \enspace\)Konstanz liegt am Bodensee.
Es handelt sich hierbei um eine wahre Aussage. - \(A_3: \enspace\)\(3\) ist eine Quadratzahl in \(\mathbb{Z}\).
Es handelt sich hierbei um eine falsche Aussage, denn es gibt keine ganze Zahl \(x\) mit \(x^2=3\). - \(A_4: \enspace\)\(3\) ist eine Quadratzahl in \(\mathbb{R}\).
Es handelt sich hierbei um eine wahre Aussage, denn für die Zahl \(x=\sqrt{3}\) gilt \(x^2=3\).
Mit der Definition von Aussagen legen wir uns auf eine zweiwertige Logik fest. Sätze, die weder wahr noch falsch sind, sowie Sätze, die sowohl wahr als auch falsch sind, gehören nicht zu den Aussagen.
Können wir einer sprachlichen Äußerung keinen eindeutigen Wahrheitswert zuordnen, so handelt es sich ebenfalls nicht um eine Aussage. Solche sprachlichen Äußerungen sind z.B. Fragesätze ("Warum ist der Himmel blau?"), Anweisungen ("Wir bitten um Antwort."), individuelle Meinungsäußerungen ("Das Haus ist schön."), in sich widersprüchliche Sätze ("Alles, was hier steht, ist falsch.") und sinnlose Wortzusammenstellungen ("Vorwärts, rückwärts, seitwärts, der, die, das").
Auch Ausdrücke wie "\(x<0\)", in denen Variablen vorkommen, denen kein Wert zugewiesen wurde, sind keine Aussagen. Der Wahrheitswert solcher Ausdrücke hängt von der Belegung der Variablen ab. Ist \(x=5\), dann ist der Ausdruck falsch. Ist \(x=-1\), dann ist der Ausdruck wahr.
Merke:
Eine Aussage ist eine Behauptung, die entweder wahr oder falsch ist.
Erklärung Lösung: Bei den folgenden Ausdrücken handelt es sich um Aussagen:
Erläuterung: Ein Ausdruck ist genau dann eine Aussage, wenn wir ihm einen eindeutigen Wahrheitswert, also "wahr" oder "falsch", zuordnen können. Die Ausdrücke "\(3\cdot 5 = 16\)" und "\(10\) ist eine Primzahl." sind offenbar falsch und daher Aussagen. Der Ausdruck "Mannheim liegt am Rhein oder am Neckar." ist wahr, da Mannheim sowohl am Rhein als auch am Neckar liegt. Es handelt sich also ebenfalls um eine Aussage. Der Ausdruck "Alle Rechtecke sind Quadrate." ist falsch, da es auch Rechtecke gibt, die keine Quadrate sind. Damit ist der Ausdruck aber eine Aussage. "\(5+9\)" ist keine Aussage, da wir nicht wissen, was hier behauptet werden soll. Wir können also nicht sagen, ob der Ausdruck wahr oder falsch ist. Der Satz "Dieser Satz ist falsch." ist keine Aussage, da wir ihm keinen eindeutigen Wahrheitswert zuordnen können. Wäre nämlich die Aussage des Satzes wahr, so wäre der Satz falsch. Wäre der Satz hingegen falsch, so würde er aussagen, dass der Satz wahr ist. Wir erhalten also stets einen Widerspruch. "\(x+3=1\)" ist ebenfalls keine Aussage, da der Wahrheitswert des Ausdrucks vom konkreten Wert abhängt, den wir für \(x\) einsetzen. Für \(x=-2\) ist der Ausdruck wahr. Für \(x=1\) ist er jedoch nicht wahr. Es gibt also keinen eindeutigen Wahrheitswert, solange nicht bekannt ist, welche Werte \(x\) annehmen darf. Der Satz "Logik ist etwas Wunderbares." ist keine Aussage, weil der Wahrheitswert von der Person, die diesen Satz ausspricht, abhängt. Mancher würde sagen, dass dieser Satz wahr ist. Andere würden jedoch sage, dass der Satz falsch ist. "Ist \(4\) größer als \(2\)?" ist keine Aussage, da wir einer Frage keinen Wahrheitswert zuordnen können. |  |
\(\enspace\)