Junktoren Wahrheitstabellen
Den Wahrheitswert von Aussagen fasst man häufig in Tabellen zusammen. Hierbei werden in der Kopfzeile die Aussagen aufgelistet und in den Spalten die dazugehörigen Wahrheitswerte. Die Aussage \(A\) z.B. kann die beiden Wahrheitswerte \(\mathrm{w}\) und \(\mathrm{f}\) haben. Die Wahrheitstabelle für die Aussage \(A\) sieht also folgendermaßen aus:
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline A \ \\ \hline \mathrm{w} \\ \hline \mathrm{f} \\ \hline\end{array}\)
Anstatt von Wahrheitstabellen spricht man häufig auch von Wahrheitstafeln, Wahrheitswerttabellen oder Wahrheitsmatrizen.
Bei zusammengesetzten Aussagen listet man in der Wahrheitstabelle alle einfachen Aussagen auf, die zu dieser komplexen Aussage beitragen, und führt alle Kombinationen an Wahrheitswerten auf. Gehen in eine komplexe Aussage zwei einfache Aussagen ein, dann erhält man so \(4\) Kombinationen an Wahrheitswerten. Die dazugehörige Wahrheitstabelle enthält also \(4\) Zeilen. Gehen in eine komplexe Aussage \(3\) einfache Aussagen ein, dann erhält man eine Wahrheitstabelle mit \(8\) Zeilen, usw. Allgemein erhält man bei \(n\) einfachen Aussagen eine Tabelle mit \(2^n\) Zeilen.
Beispiele:
Wahrheitstabelle, in der die Wahrheitswertkombinationen für zwei Aussagen \(A\) und \(B\) aufgeführt sind: | \(\begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} \ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} \ \\ \hline\end{array}\) |
Wahrheitstabelle, in der die Wahrheitswertkombinationen für drei Aussagen \(A\), \(B\) und \(C\) aufgeführt sind: | \(\begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & C \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} \ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} \ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} \ \\ \hline\end{array}\) |
Wir werden die Spalten für die einfachen Aussagen von den Spalten für die komplexen Aussagen in der Wahrheitstabelle durch einen Doppelstrich voneinander trennen.
Beispiel:
Zur Aussage "\(4\) ist eine ganze Zahl und \(4\) ist gerade" lässt sich die folgende Wahrheitstabelle bilden:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 4\textsf{ ist eine}&4 \textsf{ ist gerade}&\hspace{-0.8em}& 4 \textsf{ ist eine ganze Zahl}\ \\ \textsf{ganze Zahl} & & \hspace{-0.8em} & \textsf{und } 4 \textsf{ ist gerade} \ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die einfachen Teilaussagen werden hierbei von der komplexen Gesamtaussage durch einen Doppelstrich getrennt. Dargestellt wurde hier eine Und-Verknüpfung, die später noch genau erläutert wird.
\(\enspace\)