Definition der Negation Korrekte Formulierung
Bei der Verneinung muss man genau auf die korrekte Formulierung achten. So ist z.B. die Negation der Aussage "Es regnet." nicht die Aussage "Es scheint die Sonne.", sondern die Aussage "Es regnet nicht.". Es kann sein, dass die Sonne nicht scheint und es trotzdem nicht regnet, da es z.B. bewölkt ist.
Die korrekte Formulierung bei der Verneinung wird insbesondere dann wichtig, wenn die zu verneinende Aussage alle Personen oder Objekte einer bestimmten Menge betrifft.
Betrachten wir zum Beispiel die folgenden Aussagen:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | Alle natürlichen Zahlen sind gerade. |
\(B\) | \(\enspace :\enspace\) | Nicht alle natürlichen Zahlen sind gerade. |
Dann ist die Aussage \(B\) die korrekte Negation der Aussage \(A\).
Oft gelangen aber Anfänger beim Versuch, die Aussage \(A\) zu verneinen, zu folgendem Resultat:
\(\qquad\) | \(C\) | \(\enspace :\enspace\) | Alle natürlichen Zahlen sind ungerade. |
Die Aussage \(C\) ist dagegen nicht die korrekte Verneinung der Aussage \(A\).
Dass das so ist, können wir schon an den Wahrheitswerten der Aussagen \(A\) und \(C\) sehen:
- Die Aussage \(A\) ist offensichtlich falsch. Also muss die Verneinung \(\lnot A\) wahr sein.
- Die Aussage \(C\) ist jedoch ebenfalls falsch. Demzufolge kann es sich bei \(C\) nicht um die Verneinung \(\lnot A\) handeln.
Merke:
Angenommen, man will eine Aussage \(A\) verneinen, wobei \(A\) die folgende Gestalt hat:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | Alle Personen oder Objekte haben die Eigenschaft \(E\). |
Die korrekte Verneinung lautet dann:
\(\qquad\) | \(B\) | \(\enspace :\enspace\) | Nicht alle Personen bzw. Objekte haben die Eigenschaft \(E\). |
Demgegenüber bildet der folgende Satz nicht die Verneinung von \(A\):
\(\qquad\) | \(C\) | \(\enspace :\enspace\) | Alle Personen bzw. Objekte haben die Eigenschaft \(E\) nicht. |
Erklärung Lösung: Die Negation der Aussage lautet: \(\quad x\ge 7\) Erläuterung: Das Gegenteil von "kleiner" (\(<\)) ist "größer gleich" (\(\ge\)). Es ist einzusehen, dass "gleich" (\(=\)) und "ungleich" (\(\neq\)) keine Verneinung von "größer" (\(>\)) ist. Man kann dies auch mit Gegenbeispielen belegen:
Oft wird fälschlicherweise "kleiner" (\(<\)) mit "größer" (\(>\)) negiert. Das ist falsch. Dies zeigen wir ebenfalls mit einem Gegenbeispiel:
Das Gegenteil von "kleiner" (\(<\)) ist "größer gleich" (\(\ge\)). Wir betrachten hierzu die folgenden Fälle:
Für alle reellen Zahlen, die wir für \(x\) wählen, stimmt also, dass \(x\ge 7\) das Gegenteil von \(x<7\) ist. |  |
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