Definition der Kontravalenz Beispiele
Merke:
- Eine Entweder-Oder-Aussage \(A\,\dot \lor B\) ist nur wahr, wenn entweder \(A\) wahr ist und \(B\) falsch oder umgekehrt, wenn \(A\) falsch ist und \(B\) wahr. D.h. \(A\) und \(B\) müssen verschiedene Wahrheitswerte haben.
- Eine Entweder-Oder-Aussage \(A\,\dot \lor B\) ist falsch, wenn \(A\) und \(B\) beide wahr oder beide falsch sind. D.h. \(A\) und \(B\) müssen unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
Beispiel:
Die Aussagen \(A\) und \(B\) lauten:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | \(5>2\) |
\(B\) | \(\enspace :\enspace\) | \(8>7\) |
Die Entweder-Oder-Verknüpfung der Aussagen \(A\) und \(B\) lautet:
\(\qquad\) | \(A \,\dot\lor B\) | \(\enspace :\enspace\) | Entweder \(5>2\) oder \(8>7\) |
Die Entweder-Oder-Aussage \(A \,\dot \lor B\) ist falsch, da beide Aussagen \(A\) wahr sind.
Beispiel:
Wir zeigen nun, dass die komplexe Aussage
\(\qquad\) | \((A \,\dot\lor B) \,\dot\lor B\) |
wiederum \(A\) ergibt.
Wir bilden hierzu die Wahrheitstabelle, in der wir Spalten für die einfachen Aussagen \(A\) und \(B\) und die komplexen Aussagen \(A\,\dot\lor B\) und \((A\,\dot\lor B) \,\dot\lor B\) aufführen:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&\hspace{-0.8em}& A \,\dot\lor B & (A \,\dot\lor B) \,\dot\lor B \ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f} &\mathrm{f}\ \\ \hline\end{array}\) |
Vergleichen wir die Einträge in der Spalte \(A\) mit denen in der Spalte \((A \,\dot\lor B) \,\dot\lor B\), so sehen wir, dass beide Spalten die gleichen Einträge aufweisen. Es gilt also:
\(\qquad\) | \(((A \,\dot\lor B) \,\dot\lor B)=A\) |
Bedeutung in der Kryptographie
Die Eigenschaft, dass die zweimalige Anwendung der Exklusiven Oder-Verknüpfung der Identität entspricht – man nennt diese Eigenschaft selbstinvers –, dass also gilt
\(\qquad\) | \(((A \,\dot\lor B) \,\dot\lor B) = A\) |
wird auch in der Kryptographie eingesetzt. Sie ermöglicht die Verwendung der gleichen Funktion sowohl beim Verschlüsseln von Informationen als auch beim Entschlüsseln.
Bei einem Verschlüsselungsverfahren wird die zu verschlüsselnde Nachricht, der Klartext, mit einem Schlüssel in einen Geheimtext überführt.
Beim One-Time-Pad-Verfahren z.B. besteht der Schlüssel aus einer zufälligen Bitfolge in der Länge der Bitfolge des Klartextes. Der Geheimtext entsteht dadurch, dass Bit für Bit der Klartext mit einer Exlusiven Oder-Verknüpfung mit dem Geheimtext verknüpft wird. Möchte man aus dem Geheimtext wiederum den Klartext erhalten, dann muss man beim One-Time-Pad-Verfahren den Geheimtext erneut mit dem Schlüssel bitweise mit einer Exklusiven Oder-Verknüpfung verknüpfen.
\(\enspace\)