Beispiele Definition der Implikation
Die Implikation von \(A\) nach \(B\) drückt eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit der Aussage \(B\) aus:
\(\qquad\) | Immer dann, wenn \(A\) wahr ist, ist auch \(B\) wahr. |
Man spricht bei einer Implikation deshalb auch von einer Wenn-dann-Verknüpfung. Weitere Bezeichnungen sind Subjunktion und Konditional.
Man sagt auch, dass \(A\) eine hinreichende Bedingung für \(B\) ist oder dass \(B\) eine notwendige Bedingung für \(A\) ist oder "aus \(A\) folgt \(B\)".
Definition:
Die Implikation (Folgerung) ist eine Verknüpfung zweier Aussagen \(A\) und \(B\) durch den Junktor \(\implies\).
Die komplexe Aussage \(A \implies B\) ist falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. In allen anderen Fällen ist \(A \implies B\) wahr.
Schreibweise: | \(\quad\) | \(A \implies B\) |
Sprechweisen: | "aus \(A\) folgt \(B\,\)", "wenn \(A\), dann \(B\,\)" |
Bei einer Implikation \(A \implies B\) wird die erste Aussage \(A\) als Vordersatz oder Vorderglied bezeichnet, die zweite Aussage \(B\) als Hinterglied oder Hintersatz.
Die Beziehung zwischen den Aussagen \(A\) und \(B\) und der Implikation \(A \implies B\) wird durch die folgende Wahrheitstabelle dargestellt:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&\hspace{-0.8em}& A \implies B \ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Implikation \(A \implies B\) lässt sich auch durch die Negation von \(A\) und der Disjunktion mit \(B\) ausdrücken \((\lnot A) \lor B\). Beide Aussagen sind logisch äquivalent:
\(\qquad\) | \((A \implies B) \iff ((\lnot A) \lor B)\) |
Den Beweis werden wir später führen.
Beispiel:
Wir betrachten eine Funktion \(f\) und eine Folgerung, die bereits aus der Schule bekannt ist.
Die Aussagen \(A\) und \(B\) lauten:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | \(f\) ist differenzierbar. |
\(B\) | \(\enspace :\enspace\) | \(f\) ist stetig. |
Die Implikation der Aussagen \(A\) und \(B\) lautet:
\(\qquad\) | \(A \implies B\) | \(\enspace :\enspace\) | Wenn \(f\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) stetig. |
Die Begriffe ''Wenn-Dann-Verknüpfung'', ''Implikation'' und "Folgerung" legen es nahe, dass man sich unter der Verknüpfung ''\(\implies\)'' einen logischen Schluss vorstellt. In der Tat wird diese Verknüpfung immer dann verwendet, wenn man folgende Sätze formal darstellen möchte:
- Wenn \(A\), dann \(B\).
- \(A\) impliziert \(B\).
- Immer dann, wenn \(A\) gilt, so gilt \(B\).
- Aus \(A\) folgt \(B\).
Aufgrund dieser Interpretationen von \(A \implies B\) bezeichnet man auch \(A\) als Voraussetzung (Prämisse) und \(B\) als Schluss oder Folgerung (Konklusion).
\(\enspace\)