Definition der Implikation Keine Umkehrbarkeit der Implikation
Die Implikation \(A \implies B\) heißt nicht, dass auch die Umkehrung \(B \implies A\) gilt. Diese falsche Annahme führt oft zu Fehlern in Beweisen.
Merke:
Die Aussage \(A\implies B\) bedeutet nicht, dass auch \(B\implies A\) gilt.
Man kann diesen Fehlschluss oft durch geeignete Beispiele kenntlich machen.
Beispiel:
Wir haben gesehen, dass für eine Funktion \(f\) die folgende Implikation gilt:
\(\qquad\) | Wenn \(f\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) stetig. |
Es gilt aber nicht die folgende Implikation:
\(\qquad\) | Wenn \(f\) stetig ist, dann ist \(f\) differenzierbar. |
Wir zeigen durch ein Beispiel, dass diese Implikation nicht gilt:
\(\qquad\) | Die Funktion \(f(x)=|x|\) ist stetig auf \(\mathbb{R}\), sie ist aber nicht differenzierbar auf \(\mathbb{R}\), da die Ableitung \(f'(x)\) an der Stelle \(x=0\) nicht definiert ist. |
Mehr zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen erfahren Sie in den Kursen "Differential- und Integralrechnung" und "Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit".
Beispiel:
Es gilt die folgende Implikation:
\(\qquad\) | Wenn es regnet, ist die Straße nass. |
Es gilt aber nicht die Umkehrung hiervon:
\(\qquad\) | Wenn die Straße nass ist, regnet es. |
Diese Folgerung können wir nicht ziehen. Die Straße kann aufgrund einer Straßenreinigung nass sein oder weil es vor Stunden geregnet hat, aber momentan nicht mehr regnet.
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