Keine Umkehrbarkeit der Implikation Beispiele
Merke:
- Eine Implikation \(A\implies B\) ist wahr, wenn \(A\) und \(B\) beide wahr sind oder wenn \(A\) falsch ist.
- Eine Implikation \(A\implies B\) ist nur dann falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist.
Beispiel:
Peter sagt:
\(\qquad\) | Wenn die Sonne scheint, gehe ich ins Strandbad. |
Die Aussagen \(A\) und \(B\) lauten:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | Die Sonne scheint. |
\(B\) | \(\enspace :\enspace\) | Peter geht ins Strandbad. |
Die Implikation der Aussagen \(A\) und \(B\) lautet:
\(\qquad\) | \(A \implies B\) | \(\enspace :\enspace\) | Wenn die Sonne scheint, dann geht Peter ins Strandbad. |
Wir können jetzt folgende Überlegungen anstellen:
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Wenn tatsächlich die Sonne scheint und Peter ins Strandbad geht, so ist diese Implikationsaussage wahr. |
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Wenn dagegen die Sonne scheint und Peter nicht ins Strandbad geht, so ist Peters Aussage falsch. |
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Und was passiert, wenn die Sonne nicht scheint? Dann ist Peters Ankündigung in jedem Falle wahr, unabhängig davon, ob er ins Strandbad geht oder nicht. Peter hat sich ja in seiner Aussage nur für denjenigen Fall festgelegt, dass die Sonne scheint |
Beispiel:
Am Zaun eines Grundstücks steht ein Warnschild:
\(\qquad\) | Wenn jemand Bello ärgert, dann wird er gebissen. |
Wenn wir nun dieses Warnschild in unsere mathematische Terminologie übersetzen, so entstehen folgende Aussagen:
Die Aussagen \(A\) und \(B\) lauten:
\(\qquad\) | Für jeden Menschen gilt: |
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | Er ärgert Bello. |
\(B\) | \(\enspace :\enspace\) | Er wird gebissen. |
Die Implikation der Aussagen \(A\) und \(B\) lautet:
\(\qquad\) | Für jeden Menschen gilt: |
\(\qquad\) | \(A \implies B\) | \(\enspace :\enspace\) | Wenn er Bello ärgert, dann wird er gebissen. |
Als nun das obige Schild anmontiert wurde, war die darauf stehende Aussage wahr. Das haben insbesondere drei Menschen erfahren:
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Andreas konnte es nicht lassen. Er ärgerte Bello und wurde prompt gebissen. In seinem Fall erwiesen sich sowohl \(A\) als auch \(B\) als wahr. Damit war für Andreas auch die Implikation \(A\implies B\) wahr. |
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Beate war da wesentlich behutsamer: Sie streichelte Bello nur ein wenig, aber leider wurde auch sie gebissen. Dennoch gilt das Schild auch für Beate, denn es sagte nur etwas über Bellos Verhalten, falls man ihn ärgerte. |
\(\tiny\blacksquare\quad\) | Carl ging einfach an dem besagten Grundstück vorbei, ohne von Bello Notiz zu nehmen. Er wurde dann auch von Bello nicht gebissen. Für Carl galt also Folgendes: Sowohl \(A\) als auch \(B\) waren falsch, und damit war die Warnung \(A\implies B\) auch für ihn wahr. |
\(\enspace\)