Alltagssprachliche Missdeutungen Definition der Äquivalenz
Die Äquivalenz der Aussagen \(A\) und \(B\) drückt eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Wahrheit der Aussage \(B\) aus:
\(\qquad\) | Genau dann, wenn \(A\) wahr ist, ist auch \(B\) wahr, und genau dann, wenn \(A\) falsch ist, ist auch \(B\) falsch. |
Man sagt auch, dass \(A\) eine hinreichende und notwendige Bedingung für \(B\) ist und spricht bei einer Äquivalenz deshalb auch von einer Genau-dann-wenn-Verknüpfung. Weitere Bezeichnungen sind Bijunktion oder Bikonditional.
Definition:
Die Äquivalenz ist eine Verknüpfung zweier Aussagen \(A\) und \(B\) durch den Junktor \(\iff\).
Die komplexe Aussage \(A \iff B\) ist wahr, wenn sowohl \(A\) als auch \(B\) wahr sind oder wenn sowohl \(A\) als auch \(B\) falsch sind. Haben die Aussagen \(A\) und \(B\) unterschiedliche Wahrheitswerte, dann ist die Äquivalenz \(A \iff B\) falsch.
Schreibweise: | \(\quad\) | \(A \iff B\) |
Sprechweisen: | "\(A\) ist äquivalent zu \(B\,\)", "\(A\) genau dann, wenn \(B\,\)", "\(A\) dann und nur dann, wenn \(B\,\)" |
Die Beziehung zwischen den Aussagen \(A\) und \(B\) und der Äquivalenz \(A \iff B\) wird durch die folgende Wahrheitstabelle dargestellt:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&\hspace{-0.8em}& A \iff B \ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die Äquivalenz von \(A\) und \(B\) lässt sich durch Implikationen wie folgt beschreiben:
\(\qquad\) | Genau dann sind \(A\) und \(B\) äquivalent, wenn \(A \implies B\) und \(B \implies A\). |
Den Beweis werden wir später führen.
Beispiel:
Die Aussagen \(A\) und \(B\) lauten:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | \(x\) ist durch \(2\) teilbar |
\(B\) | \(\enspace :\enspace\) | \(x\) ist gerade |
Die Äquivalenz der Aussagen \(A\) und \(B\) lautet:
\(\qquad\) | \(A \iff B\) | \(\enspace :\enspace\) | Genau dann, wenn \(x\) durch \(2\) teilbar ist, ist \(x\) gerade. |
Erhält \(x\) einen ungeraden Wert, dann sind sowohl \(A\) als auch \(B\) falsch. Die Äquivalenz \(A\iff B\) ist somit wahr.
Erhält \(x\) einen geraden Wert, dann sind sowohl \(A\) als auch \(B\) wahr. Die Äquivalenz \(A\iff B\) ist somit ebenfalls wahr.
\(\enspace\)