Definition der Äquivalenz Beispiele
Merke:
- Eine Äquivalenz \(A\iff B\) ist wahr, wenn \(A\) und \(B\) den gleichen Wahrheitswert haben.
- Eine Äquivalenz \(A\iff B\) ist falsch, wenn \(A\) und \(B\) unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
Wie bei der Implikation müssen wir auch bei der Äquivalenz von einer inhaltlichen Interpretation absehen.
Beispiel:
Die Aussagen \(A\) und \(B\) lauten:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | \(3\) ist ein Teiler von \(8\) |
\(B\) | \(\enspace :\enspace\) | \(14\) ist eine Primzahl |
Die Äquivalenz der Aussagen \(A\) und \(B\) lautet:
\(\qquad\) | \(A \iff B\) | \(\enspace :\enspace\) | \(3\) ist genau dann ein Teiler von \(8\), wenn \(14\) eine Primzahl ist. |
Beide Aussagen sind falsch. Die komplexe Aussage \(A \iff B\) ist deshalb wahr.
Beispiel:
Verena sagt Folgendes:
\(\qquad\) | Dann und nur dann, wenn morgen Schnee liegt, trage ich hohe Schuhe. |
Diese Ankündigung können wir als Äquivalenzaussage \(A \iff B\) schreiben mit den Aussagen \(A\) und \(B\):
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace :\enspace\) | Morgen liegt Schnee. |
\(B\) | \(\enspace :\enspace\) | Ich trage hohe Schuhe. |
Mit dieser Ankündigung sagt Verena, dass zwei Zustände möglich sind:
- Morgen liegt Schnee und sie trägt hohe Schuhe (d.h. die Aussagen \(A\) und \(B\) sind wahr).
- Morgen liegt kein Schnee und sie trägt keine hohen Schuhe (d.h. die Aussagen \(A\) und \(B\) sind falsch).
Erklärung Lösung: Das Erscheinen eines Regenbogens ist hinreichend dafür, dass es regnet und die Sonne scheint. Dass es regnet und die Sonne scheint, ist notwendig für das Erscheinen eines Regenbogens. Erläuterung: Wir führen für die einzelnen Teilaussage die folgenden Abkürzungen ein:
Dann lässt sich die Aussage "Nur dann kann ein Regenbogen erscheinen, wenn es regnet und die Sonne scheint." in der folgenden logischen Form darstellen:
Wir sehen also, dass \(A\) eine hinreichende Bedingung für \(B\land C\) ist. Dementsprechend ist \(B\land C\) eine notwendige Bedingung für \(A\). |  |
\(\enspace\)