Lernmodul: Grundlagen der Aussagenlogik

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Rangfolge unterschiedlicher Operatoren

Für die grundlegenden Rechenoperationen der Mathematik gibt es die Rangfolge "Punktrechnung vor Strichrechnung", d.h. die Multiplikation und Division (Punktrechnung) wird vor der Addition und Subtraktion (Strichrechnung) ausgeführt. Eine höhere Priorität als die Strichrechnung haben das Potenzieren und das Radizieren. So sieht die Rangfolge der grundlegenden, mathematischen Operationen wie folgt aus:
1.\(\quad\)
Potenzieren und Radizieren
2.
Multiplizieren und Dividieren
3.
Addieren und Subtrahieren
Beispiel:
Der mathematische Ausdruck \(1-2\cdot 3^{-5}\) wird ausgewertet als \(1-(2\cdot (3^{(-5)}))\).
In der Logik gibt es ähnliche Regeln, die jedoch nicht allgemeingültig sind. Wir verwenden die folgende, übliche Operatorrangfolge:
1.\(\quad\)
Negation
\(\quad\)
\(\lnot\)
2.
Konjunktion
\(\land\)
3.
Disjunktion
\(\lor\)
4.
Implikation
\(\implies\)
5.
Äquivalenz
\(\iff\)
Da obige Rangfolge für logische Operatoren nicht allgemeingültig ist, empfiehlt es sich, zur Unterscheidung der Konjunktion und Disjunktion und der Implikation und Äquivalenz mit Klammern zu arbeiten.
Die Kontravalenz \(\dot\lor\) fehlt in obiger Liste. Sie kann nicht fest eingeordnet werden. Sie bindet stärker als die Implikation \(\implies\), aber schwächer als die Negation \(\lnot\). Tritt die Kontravalenz zusammen mit einer Disjunktion \(\lor\) oder einer Konjunktion \(\land\) auf, so empfiehlt es sich, den Ausdruck zu klammern.
Merke:
Wir können uns die Rangfolge wie folgt merken:
\(\qquad\)
Erst "nicht", dann "und", dann "oder".
Beispiel:
Um den logischen Ausdruck \(\lnot A \land B \implies C \lor D \land \lnot E\) als vollständig geklammerten Ausdruck zu schreiben, gehen wir wie folgt vor.
Wir klammern zuerst die Negationen:
\(\qquad\)
\((\lnot A) \land B \implies C \lor D \land (\lnot E)\)
Danach klammern wir die Konjunktionen:
\(\qquad\)
\(((\lnot A) \land B) \implies C \lor (D \land (\lnot E))\)
Und schließlich klammern wir die Disjunktion:
\(\qquad\)
\(((\lnot A) \land B) \implies (C \lor (D \land (\lnot E)))\)
qtitle
qcloze
Lösung:
Wenn \(A\) falsch, \(B\) falsch und \(C\) wahr ist, dann ist die komplexe Aussage falsch.
Erläuterung:
Wir zeigen dies, indem wir die einzelnen Teilaussagen auswerten. Zuerst setzen wir für \(A\), \(B\) und \(C\) ihre Wahrheitswerte ein:
\(\qquad\)
\(((\underbrace{A}_{\mathrm{f}} \land \lnot \underbrace{B}_{\mathrm{f}})\) \(\implies (\lnot (\lnot \underbrace{A}_{\mathrm{f}} \implies \lnot \underbrace{B}_{\mathrm{f}}) \) \(\lor \ (\underbrace{B}_{\mathrm{f}} \implies \underbrace{A}_{\mathrm{f}}))) \) \(\iff \lnot \underbrace{C}_{\mathrm{w}}\)
Nun berücksichtigen wir die Negationen:
\(\qquad\)
\(((\underbrace{A}_{\mathrm{f}} \land \underbrace{\lnot B}_{\mathrm{w}})\implies (\lnot ( \underbrace{\lnot A}_{\mathrm{w}} \implies \underbrace{\lnot B}_{\mathrm{w}}) \) \(\ \lor (\underbrace{B}_{\mathrm{f}} \implies \underbrace{A}_{\mathrm{f}}))) \) \(\iff \underbrace{\lnot C}_{\mathrm{f}}\)
Wir geben die Wahrheitswerte der inneren Klammern an:
\(\qquad\)
\(((\underbrace{A \land \lnot B}_{\mathrm{f}})\implies (\lnot ( \underbrace{\lnot A \implies \lnot B}_{\mathrm{w}}) \) \(\ \lor (\underbrace{B \implies A}_{\mathrm{w}})))\) \( \iff \underbrace{\lnot C}_{\mathrm{f}}\)
Wir berücksichtigen die Negation vor der inneren Klammer:
\(\qquad\)
\(((\underbrace{A \land \lnot B}_{\mathrm{f}})\implies (\underbrace{\lnot(\lnot A \implies \lnot B}_{\mathrm{f}}) \) \(\ \lor (\underbrace{B \implies A}_{\mathrm{w}}))) \iff \underbrace{\lnot C}_{\mathrm{f}}\)
Wir geben die Wahrheitswerte der Disjunktion an:
\(\qquad\)
\(((\underbrace{A \land \lnot B}_{\mathrm{f}})\implies (\underbrace{\lnot(\lnot A \implies \lnot B) \lor (B \implies A)}_{\mathrm{w}})) \) \(\iff \underbrace{\lnot C}_{\mathrm{f}}\)
Wir berücksichtigen die Implikation:
\(\qquad\)
\(((\underbrace{A \land \lnot B)\implies (\lnot(\lnot A \implies \lnot B) \lor (B \implies A))}_{\mathrm{w}})\) \( \iff \underbrace{\lnot C}_{\mathrm{f}}\)
Wir berücksichtigen die Äquivalenz:
\(\qquad\)
\((\underbrace{(A \land \lnot B)\implies (\lnot(\lnot A \implies \lnot B) \lor (B \implies A))) \iff \lnot C}_{\mathrm{f}}\)
Der komplexe Ausdruck hat also den Wahrheitswert falsch.
\(\enspace\)
 Quellen 
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