Rangfolge unterschiedlicher Operatoren Reihenfolge gleichwertiger Operatoren
Haben Operatoren die gleiche Rangfolge, so entscheidet ihre Assoziativität über ihre Gruppierung.
Bei mathematischen Ausdrücken werden Summen und Produkte von links nach rechts ausgewertet, d.h. die Addition und Multiplikation sind links-assoziativ. Geschachtelte Potenzen dagegen werden von rechts nach links ausgewertet, d.h. das Potenzieren ist rechts-assoziativ.
Beispiel:
Der mathematische Ausdruck \(2 \cdot 3 \cdot 4^{5^6}\) wird ausgewertet als \((2 \cdot 3) \cdot (4^{(5^6)})\).
In der Logik gibt es keine fest vorgegebene Operatorrangfolge. Meist werden Operationen von links nach rechts ausgewertet. Die meisten Junktoren sind also links-assoziativ. Es gibt jedoch auch Autoren, die zumindest die Implikation rechts-assoziativ verwenden.
Wir werden alle logischen Operationen links-assoziativ auswerten. Um Missverständnisse vorzubeugen, werden wir bei der Verwendung mehrerer gleichwertiger Implikationen Klammern verwenden.
Beispiel:
Um den folgenden logischen Ausdruck
\(\qquad\) | \(A \implies \lnot B \lor C \lor D \) \(\implies E \land \lnot F \land G\) |
als vollständig geklammerten Ausdruck zu schreiben, gehen wir wie folgt vor.
Wir klammern zuerst die Negationen:
\(\qquad\) | \(A \implies (\lnot B) \lor C \lor D \) \(\implies E \land (\lnot F) \land G\) |
Danach klammern wir die Konjunktionen, wobei wir gleichwertige Operationen von links nach rechts auswerten:
\(\qquad\) | \(A \implies (\lnot B) \lor C \lor D \) \(\implies ((E \land (\lnot F)) \land G)\) |
Nun klammern wir die Disjunktionen. Auch hier werten wir gleichwertige Operationen von links nach rechts aus:
\(\qquad\) | \(A \implies (((\lnot B) \lor C) \lor D) \) \(\implies ((E \land (\lnot F)) \land G)\) |
Und schließlich klammern wir die Implikation, auch hier von links nach rechts:
\(\qquad\) | \((A \implies (((\lnot B) \lor C) \lor D)) \) \(\implies ((E \land (\lnot F)) \land G)\) |
Erklärung Lösung: Die korrekte Klammerung ist \((\lnot A)\lor ((\lnot B)\land C)\). Erläuterung: Um die Aussage \(\lnot A \lor \lnot B \land C\) vollständig zu klammern, setzen wir zunächst die Klammern bei den Negationen. Wir erhalten so:
Als Nächstes verwenden wir die Regel "\(\land \) vor \(\lor \)". Setzen wir nun also Klammern um die Und-Ausdrücke, so erhalten wir:
Der Oder-Ausdruck wird automatisch zuletzt ausgewertet, sodass wir keine weiteren Klammern setzen müssen und beim Ergebnis angelangt sind. |  |
\(\enspace\)