Formeln Definition einer Tautologie
Definition:
Eine Tautologie ist eine Formel, die immer wahr ist, unabhängig von den Wahrheitswerten der eingehenden Aussagen.
Eine Tautologie wird auch als allgemeingültige Formel bezeichnet.
Beispiel:
Wir betrachten die folgende Formel:
\(\qquad\) | Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich das Wetter oder es ändert sich nicht. |
Diese komplexe Aussage setzt sich aus den einfachen Aussagen wie folgt zusammen:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace : \enspace\) | Der Hahn kräht auf dem Mist. |
\(B\) | \(\enspace : \enspace\) | Das Wetter ändert sich. |
Mit dieser Notation lässt sich die Formel dann durch
\(\qquad\) | \(A \implies (B \lor \lnot B)\) |
darstellen.
Um zu zeigen, dass diese Aussage eine Tautologie ist, bilden wir die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&\hspace{-0.8em}& \lnot B & B\lor \lnot B & A \implies (B \lor \lnot B) \ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}&\mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}&\mathrm{w}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}&\mathrm{w}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}&\mathrm{w}&\mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Wir sehen, dass die Formel immer erfüllt ist, da jede Belegung von \(A\) und \(B\) mit wahr oder falsch eine wahre Aussage der Formel liefert.
\(\enspace\)