Definition einer Tautologie Beispiele
Beispiel:
Die Oder-Verknüpfung der Aussagen \(A\) und \(\lnot A\)
\(\qquad\) | \(A \lor \lnot A\) |
ist eine Tautologie, da jede Belegung von \(A\) mit wahr oder falsch eine wahre Aussage liefert.
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A &\hspace{-0.8em} & \lnot A & A \lor \lnot A \ \\ \hline \mathrm{w}&\hspace{-0.8em}& \mathrm{f} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline\end{array}\) |
Beispiel:
Die Entweder-Oder-Verknüpfung von \(A\) und \(\lnot A\)
\(\qquad\) | \(A \ \dot\lor\ \lnot A\) |
ist ebenfalls eine Tautologie, da jede Belegung von \(A\) mit wahr oder falsch eine wahre Aussage liefert.
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A &\hspace{-0.8em} & \lnot A & A \ \dot\lor\ \lnot A \ \\ \hline \mathrm{w}&\hspace{-0.8em}& \mathrm{f} & \mathrm{w} \ \\ \hline \mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w} & \mathrm{w} \ \\ \hline\end{array}\) |
Beispiel:
Die Formel
\(\qquad\) | \((A \land B) \implies (\lnot A)\) |
ist keine Tautologie. Wir bilden die Wahrheitstabelle für diese Formel
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \hspace{-0.8em} & A \land B & \lnot A & (A\land B) \implies (\lnot A) \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Wenn sowohl \(A\) als auch \(B\) wahr sind, dann führt dies zu einer falschen Aussage der Formel. Die Formel ist zwar erfüllbar, sie ist aber keine Tautologie.
Erklärung Lösung: Nein, die Formel ist keine Tautologie. Erläuterung: Wir zeigen, dass die Formel keine Tautologie ist, durch eine Wahrheitstabelle.
Da mindestens eine Belegung der Aussagen \(A\) und \(B\) zu einer falschen Aussage der Formel führt, ist die Formel keine Tautologie. |  |
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