Ersetzung der Aussagen in einer Tautologie Logische Äquivalenz
Sind zwei Formeln \(\alpha\) und \(\beta\) logisch äquivalent, dann erhalten sie für jede Belegung an Wahrheitswerten den gleichen Wahrheitswert, d.h. die zusammengesetzte Aussage \(\alpha \iff \beta\) ist eine Tautologie.
Beispiel:
Die beiden Formeln
\(\qquad\) | \(\alpha : (A\implies B)\land (B\implies A)\) |
\(\qquad\) | \(\beta: A \iff B\) |
sind logisch äquivalent. Wir zeigen, dass die Aussage
\(\qquad\) | \(((A \implies B) \land (B \implies A)) \) \(\iff (A \iff B)\) |
eine Tautologie ist. Wir bilden zuerst die Wahrheitstabelle für \(\alpha\):
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \hspace{-0.8em} & A \implies B & B \implies A & (A \implies B) \\ & & \hspace{-0.8em} & & & \ \land (B \implies A) \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Dann bilden wir die Wahrheitstabelle für \(\beta\):
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \hspace{-0.8em} & A \iff B \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Die beiden Formeln \(\alpha\) und \(\beta\) kommen bei dem gleichen Verlauf der Wahrheitswerte zur gleichen rechten Seite. Sie sind also logisch äquivalent. Dies können wir auch formal durch die folgende Wahrheitstabelle zeigen:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \hspace{-0.8em} & \alpha & \beta& \alpha \iff \beta \ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f}& \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w}& \mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Erklärung Lösung: Nein, die beiden Formeln sind nicht logisch äquivalent. Erläuterung: Wir bilden die Wahrheitstabelle für \(\alpha\):
Wir bilden die Wahrheitstabelle für \(\beta\):
Die letzte Belegung der Formeln \(\alpha\) und \(\beta\) führen zu unterschiedlichen Wahrheitswerten. Die beiden Formeln sind deshalb nicht äquivalent. Wir können dies formal auch dadurch zeigen, dass \(\alpha \iff \beta\) keine Tautologie ergibt.
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