Logische Äquivalenz Definition einer erfüllbaren Aussage
Definition:
Eine Formel \(\alpha\) heißt erfüllbar, wenn es mindestens eine Kombination an Wahrheitswerten für die in die Formel eingehenden Aussagen gibt, so dass \(\alpha\) wahr wird.
Beispiel:
Wir betrachten die folgende komplexe Aussage:
\(\qquad\) | Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich das Wetter. |
Diese komplexe Aussage setzt sich aus den einfachen Aussagen wie folgt zusammen:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace : \enspace\) | Der Hahn kräht auf dem Mist. |
\(B\) | \(\enspace : \enspace\) | Das Wetter ändert sich. |
Mit dieser Notation lässt sich die komplexe Aussage dann durch
\(\qquad\) | \(A \implies B\) |
darstellen.
Um zu zeigen, dass diese Aussage erfüllbar ist, bilden wir die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&\hspace{-0.8em}& A \implies B \ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}& \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}\ \\ \hline\end{array}\) |
Wir sehen, dass die komplexe Aussage erfüllbar ist, da der Wahrheitswert wahr in der rechten Spalte mindestens einmal vorkommt.
\(\enspace\)