Beispiele Definition einer Kontradiktion
Definition:
Eine Kontradiktion ist eine Formel, die immer falsch ist, unabhängig von den Wahrheitswerten der eingehenden Aussagen.
Eine Kontradiktion bezeichnet man auch als widersprüchliche Formel.
Beispiel:
Wir betrachten die folgende komplexe Aussage:
\(\qquad\) | Wenn der Hahn kräht auf dem Mist oder er tut es nicht, dann ändert sich das Wetter und es ändert sich nicht. |
Diese komplexe Aussage setzt sich aus den einfachen Aussagen wie folgt zusammen:
\(\qquad\) | \(A\) | \(\enspace : \enspace\) | Der Hahn kräht auf dem Mist. |
\(B\) | \(\enspace : \enspace\) | Das Wetter ändert sich. |
Mit dieser Notation lässt sich die komplexe Aussage dann durch
\(\qquad\) | \((A \lor \lnot A) \implies (B \land \lnot B)\) |
darstellen.
Um zu zeigen, dass diese Aussage eine Kontradiktion ist, bilden wir die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\) | \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&\hspace{-0.8em}& \lnot A & A \lor \lnot A & \lnot B & B \land \lnot B &(A \lor \lnot A) \\ & & \hspace{-0.8em} & & & & & \implies (B \land \lnot B) \ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}&\mathrm{w}&\mathrm{f}& \mathrm{f} &\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{w}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{f}&\mathrm{w}&\mathrm{w}&\mathrm{f}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{w}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}&\mathrm{w}&\mathrm{f}&\mathrm{f}&\mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f}&\mathrm{f}&\hspace{-0.8em}&\mathrm{w}&\mathrm{w}&\mathrm{w}&\mathrm{f}&\mathrm{f}\ \\ \hline\end{array}\) |
Diese Aussage ist eine Kontradiktion, da alle Wahrheitswerte der rechten Spalte den Wert falsch annehmen.
Eine Tautologie ist immer wahr, eine Kontradiktion ist immer falsch. Wir können also festhalten:
Merke:
Ist \(\alpha\) eine Tautologie, dann ist \(\lnot \alpha\) eine Kontradiktion.
Und umgekehrt:
Ist \(\alpha\) eine Kontradiktion, dann ist \(\lnot \alpha\) eine Tautologie.
\(\enspace\)