Lernmodul: Grundlagen der Aussagenlogik

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Aufgabe 2

Geben Sie zu den folgenden Formeln die Wahrheitstabellen an.
\(\qquad\)
\(\alpha \enspace : \enspace ((\lnot A) \land B) \lor A\)
\(\beta \enspace : \enspace A \land (\lnot (A \lor B))\)
\(\gamma \enspace : \enspace (A \land (\lnot B)) \lor A\)
\(\delta \enspace : \enspace ((\lnot A) \land (\lnot B)) \lor (A \lor B)\)
  • Welche der Formeln sind erfüllbar?
  • Welche sind Tautologien oder Kontradiktionen?
Erläuterung:
Wir erstellen für \(\alpha\) die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \hspace{-0.8em} & \lnot A & (\lnot A) \land B & ((\lnot A) \land B) \lor A\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \end{array}\)
\(\alpha\) ist eine erfüllbare Aussage, da es in der Wahrheitstabelle mindestens eine Zeile gibt, für die die Aussage wahr ist. Da \(\alpha\) sowohl wahr als auch falsch sein kann, handelt es sich hierbei weder um eine Tautologie noch um eine Kontradiktion.
Erläuterung:
Wir erstellen für \(\beta\) die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B &\hspace{-0.8em} & A \lor B & \lnot (A \lor B) & A \land (\lnot (A \lor B))\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f}\ \\ \hline \end{array}\)
\(\beta\) ist eine Kontradiktion, da es in der Wahrheitstabelle keine Zeile gibt, für die die Aussage wahr ist. Die Formel ist nicht erfüllbar und kann deshalb auch keine Tautologie sein.
Erläuterung:
Wir erstellen für \(\gamma\) die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B &\hspace{-0.8em} & \lnot B & A \land (\lnot B) & (A \land (\lnot B)) \lor A\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f}\ \\ \hline \end{array}\)
\(\gamma\) ist eine erfüllbare Aussage, da es in der Wahrheitstabelle mindestens eine Zeile gibt, für die die Aussage wahr ist. Da \(\gamma\) sowohl wahr als auch falsch sein kann, handelt es sich hierbei weder um eine Tautologie noch um eine Kontradiktion.
Erläuterung:
Wir erstellen für \(\delta\) die Wahrheitstabelle:
\(\qquad\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B &\hspace{-0.8em} & \lnot A & \lnot B & (\lnot A) \land (\lnot B) & A \lor B & ((\lnot A) \land (\lnot B)) \\ & & &\hspace{-0.8em} & & & & \lor (A \lor B)\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{w} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{w} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{f} & \mathrm{w} & \mathrm{w}\ \\ \hline \mathrm{f} & \mathrm{f} & \hspace{-0.8em} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{w} & \mathrm{f} & \mathrm{w}\ \\ \hline \end{array}\)
\(\delta\) ist eine Tautologie, da alle Zeilen der Wahrheitstabelle zur Aussage wahr führen. Da \(\delta\) eine Tautologie ist, ist die Aussage auch erfüllbar. Es handelt sich also nicht um eine Kontradiktion.
\(\enspace\)
 Quellen 
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