Beweisprinzipien Gegenbeispiel
Um eine Behauptung zu widerlegen, genügt es, ein Beispiel zu finden, für das die Behauptung nicht zutrifft. Es reicht jedoch nicht aus, allgemeine Behauptungen durch Beispiele zu beweisen.
Beispiel:
Die Aussage
\(\qquad\) | Alle Primzahlen sind ungerade. |
ist falsch, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt:
\(\qquad\) | \(2\) ist eine Primzahl und gerade. |
Beispiel:
Ein häufiger Rechenfehler bei Schülern ist, dass Brüche addiert werden, indem die Zähler und die Nenner addiert werden. Die folgende Rechenregel:
\(\qquad\) | \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\) |
ist falsch. Wir zeigen dies an einem Gegenbeispiel mit \(a =1\), \(b=2\), \(c=1\) und \(d=3\). Für die linke Seite der Gleichung erhalten wir:
\(\qquad\) | \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}\) |
Die rechte Seite der Gleichung lautet:
\(\qquad\) | \(\dfrac{1+1}{2+3}=\dfrac{2}{5}\) |
Die linke und die rechte Seite der Gleichung sind nicht gleich. Wir haben also ein Gegenbeispiel gefunden.
Beispiel:
Wir betrachten die folgende Aussage:
\(\qquad\) | \(\forall \ a,b,c,n \in \mathbb{N} : a^n+b^n\ne c^n\) |
Die Aussage ist falsch, wie die beiden Gegenbeispiele zeigen:
\(\qquad\) | \(2^1+3^1= 5^1\) |
\(3^2+4^2= 5^2\) |
Merke:
Ein Gegenbeispiel reicht aus, um eine Behauptung zu widerlegen.
Beispiele reichen nicht aus, um eine Behauptung zu beweisen.
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