Gegenbeispiel Direkter Beweis
Beim direkten Beweis gehen wir von einer Voraussetzung, die bereits bewiesen und als wahr erkannt wurde oder die als wahr angenommen wurde, aus. Mithilfe von Regeln, Gesetzen und bereits bewiesenen oder bekannten Aussagen der Logik wird diese Voraussetzung dann in die Behauptung überführt.
Direkter Beweis:
Bei einem direkten Beweis einer Aussage der Form
\(\qquad\) | \(A \implies B\) |
beginnt man mit der Voraussetzung \(A\) und folgert daraus die zu beweisende Aussage \(B\).
Hierfür verwendet man oft Zwischenschritte und erhält so eine Implikationskette der Art
\(\qquad\) | \(A \implies A_1 \implies A_2 \implies \ldots \implies A_n \implies B\) |
Wir nehmen also \(A\) an, folgern daraus \(A_1\), dann \(A_2\), \(\ldots\), dann \(A_n\) und schließlich \(B\).
Beispiel:
Wir zeigen die folgende Aussage mithilfe eines direkten Beweises:
\(\qquad\) | Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch \(3\) teilbar. |
Mathematisch lässt sich dies wie folgt schreiben:
\(\qquad\) | \(\forall\ n\in\mathbb{N}: n+(n+1)+(n+2)\) ist durch \(3\) teilbar |
Direkter Beweis:
Sei \(n\in\mathbb{N}\). Dann sind auch \((n+1)\) und \((n+2)\) natürliche Zahlen. Addieren wir die drei Zahlen, so können wir das Assoziativ-, das Kommutativ- und das Distributivgesetz anwenden und erhalten:
Da \(3\cdot (n+1)\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch die Summe der drei Zahlen durch \(3\) teilbar. | |||
\(\blacksquare\) |
Einen Beweis beginnen wir immer mit "Beweis" bzw. mit der Hervorhebung der Beweisart. In unserem Beispiel mit "Direkter Beweis". Daran anschließend erfolgt die Beweisführung. Ist der Beweis zu Ende, dann beenden wir den Beweis mit einem Beweis-Ende-Zeichen.
Merke:
Beim direkten Beweis gelangt man von einer wahren Aussage durch eine gültige Schlusskette zur Behauptung.
\(\enspace\)