Direkter Beweis Ausführliches Beispiel
Beispiel:
Wir zeigen die folgende Aussage mithilfe eines direkten Beweises:
\(\qquad\) | \(\forall \ x\in\mathbb{R} : \sqrt{2^{(x^2)}}\ge 1\) |
Direkter Beweis:
Sei \(x\in\mathbb{R}\). Dann gilt:
Wir bilden die Potenz zur Basis \(2\) und erhalten aufgrund der Monotonie der Potenzfunktion:
Durch Einsetzen von \(2^0=1\) ergibt sich:
Wir ziehen auf beiden Seiten die Quadratwurzel:
und erhalten so die Behauptung:
| |||||||||||
\(\blacksquare\) |
Beim direkten Beweis kommen wir von einer Aussage zur nächsten durch die Anwendung von Implikationen. Wenn wir voraussetzen, dass sich die Vorgehensweise aus dem Kontext ergibt und nicht genauer erläutert werden muss (und wirklich nur dann!), dann können wir den Beweis kürzer schreiben.
Direkter Beweis:
Sei \(x\in\mathbb{R}\). Dann gilt:
| |||||||||
\(\blacksquare\) |
\(\enspace\)