Ausführliches Beispiel Weitere Beispiele
Ein wichtiges Hilfsmittel beim Beweisen sind Gleichungs- und Ungleichungsketten. Das wird im folgenden Beispiel deutlich.
Beispiel:
Wir beweisen den folgenden Satz:
\(\qquad\) | \(\forall \ a, b, c, d\in\mathbb{R}:(ac + bd)^2 + (ad -bc)^2 = (a^2 + b^2) \cdot (c^2 + d^2)\) |
Direkter Beweis:
Seien \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) vier beliebige reelle Zahlen. Dann gilt die folgende Gleichungskette:
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Wir haben durch die Anwendung der Kommutativgesetze, Assoziativgesetze und Distributivgesetze für reelle Zahlen die Korrektheit der behaupteten Gleichung gezeigt.
Eine weiteres wichtiges Hilfsmittel ist die Fallunterscheidung. Als Beispiel führen wir eine Aussage aus der Mengenlehre an. Die Grundlagen von Mengen und ihren Beziehungen untereinander werden im Kurs "Mathematische Grundlagen" behandelt.
Verwendet man eine Fallunterscheidung, dann muss darauf geachtet werden, dass auch alle möglichen Fälle abgedeckt werden.
Beispiel:
Wir beweisen die folgende Aussage:
\(\qquad\) | \((A\setminus B)\cup (B \setminus A)\subset (A \cup B)\) |
Direkter Beweis:
Sei \(x\in (A\setminus B)\cup (B \setminus A)\). Dann gilt \(x\in (A\setminus B)\) oder \(x\in (B \setminus A)\).
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\(\blacksquare\) |
\(\enspace\)