Weitere Beispiele Falsche Vorgehensweise
Wir möchten am Beispiel eines einfachen Beweises zeigen, wie man einen direkten Beweis führt und auf einen (am Anfang) häufig auftretenden Fehler bei der Beweisführung eingehen.
Beispiel:
Wir zeigen die folgende Aussage mithilfe eines direkten Beweises:
\(\qquad\) | \(\forall\ x\in \mathbb{R} : 10x \le x^2 + 25\) |
Direkter Beweis:
Sei \(x\in\mathbb{R}\). Dann gilt:
Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:
Zu dieser Ungleichung addieren wir \(10x\) und erhalten:
| ||||||||||
\(\blacksquare\) |
Wir haben in dem obigen Beispiel mit der bekannten Tatsache \((1)\) begonnen und sind schließlich auf die zu beweisende Behauptung \((3)\) gekommen.
Am Anfang fällt es schwer, dieses Prinzip, von einer wahren Aussage zu einer Behauptung zu gelangen, einzuhalten. Ein Fehler, der hierbei häufig passiert, ist, dass man mit der zu beweisenden Behauptung beginnt und daraus eine bekannte mathematische Tatsache ableitet. Diese Vorgehensweise ist falsch, da man so die falsche Schlussrichtung beweist.
Betrachten wir noch einmal unser Beispiel. Die umgekehrte und damit falsche Reihenfolge der Beweisschritte würde dann wie folgt aussehen.
Direkter Beweis mit falscher Reihenfolge:
| ||||||||||
\(\blacksquare\) |
Man kann solche Fehler vermeiden, wenn man Regeln beachtet, die wir auf der folgenden Seite erläutern werden.
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