Lernmodul: Beweisprinzipien

Functions

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Aufgabe 1

Gegeben sind die folgenden Aussagen:
\((1)\quad\)
Für die Funktion \(f(x)=3^x\) mit \(x\in\mathbb{R}\) gilt:
\(f(x_1 + x_2)=f(x_1)+f(x_2)\quad\) mit \(\quad x_1,x_2\in\mathbb{R}\)
\((2)\quad\)
\(\forall \ x,y,z\in\mathbb{N}:x^2+y^2=z^2\)
\((3)\quad\)
\(\forall \ a,b\in\mathbb{R}:(a+b)^2=a^2+b^2\)
\((4)\quad\)
\(\forall \ n\in\mathbb{N}:2^n+1\) ist eine Primzahl
Zeigen Sie jeweils durch ein Gegenbeispiel, dass diese Aussagen falsch sind.
Ein Gegenbeispiel zu \((1)\) lautet:
\(\qquad\)
\(f(1 + 1)=f(2)=3^2=9\)
\(f(1)+f(1)=3^1+3^1=6\)
\(f(1+1)\) ist also ungleich \(f(1)+f(1)\)
Ein Gegenbeispiel zu \((2)\) lautet:
\(\qquad\)
\(2^2+1^2=4+1=5\)
\(5\) kann nicht als Quadrat einer natürlichen Zahl dargestellt werden.
Ein Gegenbeispiel zu \((3)\) lautet:
\(\qquad\)
\((2+1)^2=3^2=9\)
\(2^2+1^2=4+1=5\)
\((2+1)^2\) ist also ungleich \(2^2+1^2\)
Zwei Beispiele und ein Gegenbeispiel zu \((4)\) lauten:
\(\qquad\)
\(n=1\qquad\)
\(2^1+1=2+1=3\quad\)
ist eine Primzahl
\(n=2\)
\(2^2+1=4+1=5\)
ist eine Primzahl
\(n=3\)
\(2^3+1=8+1=9\)
ist keine Primzahl
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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