Lernmodul: Beweisprinzipien

Aufgabe 2

Beweisen Sie die folgende Behauptung mit einem direkten Beweis:

\(\qquad\)

Die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist gerade.

Erklärung

Direkter Beweis:

Seien \(x\) und \(y\) zwei ganze gerade Zahlen. Dann gilt:

\(\qquad\)

\(x\) ist durch \(2\) teilbar und \(y\) ist durch \(2\) teilbar

Dann gibt es aber ganze Zahlen \(m\) und \(n\), so dass gilt:

\(\qquad\)

\(x=2\cdot m\quad\) und \(\quad y=2\cdot n\)

Wir bilden nun die Summe \(x+y\) und erhalten:

\(\qquad\)

\(x+y=2\cdot m+2\cdot n=2\cdot (m+n)\)

Es gibt also eine ganze Zahl \(c=m+n\), für die gilt:

\(\qquad\)

\(x+y=2\cdot c\)

Also ist die Summe \(x+y\) durch \(2\) teilbar und somit gerade.

\(\blacksquare\)

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