Direkter Beweis von \((1)\):
Seien \(x,y\in\mathbb{R},x,y\ge 0\). Dann gilt: \(\qquad\) | \((\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge 0\) |
Wir wenden die 1. binomische Formel an und erhalten: \(\qquad\) | \((\sqrt{x})^2-2\sqrt{x}\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2\ge 0\) |
Wir fassen zusammen: \(\qquad\) | \(x-2\sqrt{xy}+y\ge 0\) |
Nun bringen wir den Wurzelterm auf die rechte Seite der Ungleichung und dividieren durch \(2\): \(\qquad\) | \(x+y\ge 2\sqrt{xy}\) |
\(\qquad\) | \(\dfrac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\) |
Somit haben wir die Gültigkeit der Ungleichung \((1)\) gezeigt. | |
| \(\blacksquare\) |
Direkter Beweis von \((2)\):
Seien \(x,y\in\mathbb{R},x,y\gt 0\). Dann gilt die Ungleichung \((1)\): \(\qquad\) | \(\dfrac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\) |
Wir bilden den Kehrwert auf beiden Seiten. Hierbei dreht sich das Ungleichheitszeichen herum ( Rechenregeln für Ungleichungen). \(\qquad\) | \(\dfrac{2}{x+y}\le \dfrac{1}{\sqrt{xy}}\) |
Nun multiplizieren wir die Ungleichung mit dem Term \(xy\). Da sowohl \(x\) als auch \(y\) größer \(0\) sind, ist das Produkt \(x\cdot y\) ebenfalls größer \(0\) und das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten. Auf der rechten Seite schreiben wir den Faktor \(xy\) als \(\sqrt{xy}\cdot\sqrt{xy}\) und auf der linken Seite als \(\dfrac{1}{\frac{1}{xy}}\): \(\qquad\) | \(\dfrac{2}{x+y}\cdot \dfrac{\enspace 1\enspace}{\frac{1}{xy}}\le \dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot \sqrt{xy}\cdot \sqrt{xy}\) |
Wir kürzen \(\sqrt{xy}\) auf der rechten Seite und formen die linke Seite um: \(\qquad\) | \(\dfrac{2}{(x+y)\cdot \frac{1}{xy}}\le \sqrt{xy}\) |
\(\qquad\) | \(\dfrac{2}{\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}}\le \sqrt{xy}\) |
\(\qquad\) | \(\dfrac{2}{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}\le \sqrt{xy}\) |
Somit haben wir die Gültigkeit der Ungleichung \((2)\) gezeigt. | |
| \(\blacksquare\) |
Aufgabe 2 
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Lernmodul: Beweisprinzipien
1 Einleitung