Beweis mit Kontraposition Beispiel für einen Beweis mit Kontraposition
Das folgende Beispiel basiert auf einer Alltagserfahrung:
Wenn ein Schüler mehrere Klausuren schreibt und im Zeugnis eine Note ''ausreichend'' oder besser haben will, so muss er wenigstens eine dieser Klausuren mit ''ausreichend'' oder einer besseren Note schreiben. Konkret stellen wir uns vor, dass der Schüler drei Klausuren schreibt und dass die Bewertung \(4\) der Note ''ausreichend'' entspricht.
Wir zeigen die folgende Aussage mithilfe eines Beweises mit Kontraposition:
\(\qquad\) | Für alle \(x,y,z\in\mathbb{R}\) gilt: |
\(\qquad\) | Wenn \(\dfrac{x+y+z}{3} \le 4\) ist, so folgt: |
\(\qquad\) | \(x \le 4\quad \) oder \(\quad y \le 4\quad\) oder \(\quad z\le 4\) |
Wir können diese Aussage mathematisch wie folgt ausdrücken:
\(\qquad\) | \(\forall \ x,y,z\in\mathbb{R}:\) |
\(\qquad\) | \(\left(\dfrac{x+y+z}{3} \le 4\right) \implies (x \le 4 \lor y \le 4 \lor z\le 4)\) |
Bilden der Kontraposition:
Bevor wir mit dem eigentlichen Beweis beginnen, betrachten wir die Kontraposition, die wir zeigen müssen, genauer. Sie lautet:
\(\qquad\) | \(\forall \ x,y,z\in\mathbb{R}:\) |
\(\qquad\) | \(\lnot(x \le 4 \lor y \le 4 \lor z\le 4)\implies \lnot\left(\dfrac{x+y+z}{3} \le 4\right) \) |
Wir wenden die Regeln von De Morgan an und formen die linke Seite der Implikation um:
\(\qquad\) | \(\forall \ x,y,z\in\mathbb{R}:\) |
\(\qquad\) | \((\lnot(x \le 4) \land \lnot(y \le 4) \land \lnot(z\le 4))\implies \lnot\left(\dfrac{x+y+z}{3} \le 4\right) \) |
Nun negieren wir die Ungleichungen und erhalten die dem Beweis zugrundeliegende Kontraposition:
\(\qquad\) | \(\forall \ x,y,z\in\mathbb{R}:\) |
\(\qquad\) | \((x \gt 4 \land y \gt 4 \land z\gt 4)\implies \left(\dfrac{x+y+z}{3} \gt 4\right) \) |
Beweis mit Kontraposition:
Seien \(x\), \(y\) und \(z\) reelle Zahlen mit
Wir dürfen diese drei Ungleichungen addieren (Rechenregeln für Ungleichungen) und erhalten dann:
Wir dividieren die Ungleichung durch \(3\):
Damit haben wir die Kontraposition bewiesen. Da die Kontraposition gilt, gilt auch die zu zeigende Behauptung. | |||||||
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