Lösung:
Kontrapositionen:
(a)\(\enspace\) | Wenn es im Zimmer nicht hell ist, dann ist keine Lampe an. |
(b)\(\enspace\) | Die Bäume sind nicht grün, also ist es kein Sommer. |
(c)\(\enspace\) | \(41n+1\) ist keine Primzahl \(\implies\) \(n\) ist keine Primzahl |
Negationen:
(a)\(\enspace\) | Eine Lampe ist an und im Zimmer ist es nicht hell. |
(b)\(\enspace\) | Es ist Sommer und die Bäume sind nicht grün. |
(c)\(\enspace\) | \(n\) ist eine Primzahl und \(41n+1\) ist keine Primzahl. |
Erläuterung:
Wir zerlegen die Aussagen in Teilaussagen.
Zuerst betrachten wir die Aussage:
(a)\(\enspace\) | Wenn eine Lampe an ist, dann ist es im Zimmer hell. |
Die Teilaussagen lauten:
\(\qquad\) | \(A\enspace : \enspace\)Eine Lampe ist an. |
\(\qquad\) | \(B\enspace : \enspace\)Im Zimmer ist es hell. |
Die Kontraposition \(\lnot B \implies \lnot A\) und die Negation \(A \land \lnot B \) lauten dann:
\(\qquad\) | \(\lnot B \implies \lnot A\enspace : \enspace\) | Wenn es im Zimmer nicht hell ist, dann ist keine Lampe an. |
\(\qquad\) | \(A \land \lnot B\enspace : \enspace\) | Eine Lampe ist an und im Zimmer ist es nicht hell. |
Wir betrachten nun die folgende Aussage:
(b)\(\enspace\) | Es ist Sommer, also sind die Bäume grün. |
Die Teilaussagen lauten:
\(\qquad\) | \(A\enspace : \enspace\)Es ist Sommer. |
\(\qquad\) | \(B\enspace : \enspace\)Die Bäume sind grün. |
Die Kontraposition \(\lnot B \implies \lnot A\) und die Negation \(A \land \lnot B \) lauten dann:
\(\qquad\) | \(\lnot B \implies \lnot A\enspace : \enspace\) | Die Bäume sind nicht grün, also ist es kein Sommer. |
\(\qquad\) | \(A \land \lnot B\enspace : \enspace\) | Es ist Sommer und die Bäume sind nicht grün. |
Zum Schluss betrachten wir die letzte Aussage:
(c)\(\enspace\) | \(n\) ist eine Primzahl \(\implies\) \(41n+1\) ist eine Primzahl |
Die Teilaussagen lauten:
\(\qquad\) | \(A\enspace : \enspace\)\(n\) ist eine Primzahl. |
\(\qquad\) | \(B\enspace : \enspace\) \(41n+1\) ist eine Primzahl. |
Die Kontraposition \(\lnot B \implies \lnot A\) und die Negation \(A \land \lnot B \) lauten dann:
\(\qquad\) | \(\lnot B \implies \lnot A\enspace : \enspace\) | \(41n+1\) ist keine Primzahl \(\implies\) \(n\) ist keine Primzahl |
\(\qquad\) | \(A \land \lnot B\enspace : \enspace\) | \(n\) ist eine Primzahl und \(41n+1\) ist keine Primzahl. |
Beispiel für einen Beweis mit Widerspruch 