Lernmodul: Beweisprinzipien

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Aufgabe 2

Zeigen Sie die folgende Aussage für natürliche Zahlen \(n\), deren Quadratwurzel \(\sqrt{n}\) ebenfalls natürliche Zahlen sind, mithilfe eines Beweises mit Kontraposition:
\(\qquad\)
Wenn \(n\) ungerade ist, dann ist auch \(\sqrt{n}\) ungerade.
Bilden der Kontraposition:
Die Kontraposition, die wir zeigen müssen, lautet:
\(\qquad\)
Wenn \(\sqrt{n}\) nicht ungerade ist, so ist auch \(n\) nicht ungerade.
Dies können wir umformulieren und erhalten:
\(\qquad\)
Wenn \(\sqrt{n}\) gerade ist, so ist auch \(n\) gerade.
Beweis mit Kontraposition:
Sei \(\sqrt{n}\) gerade. Dann gibt es eine natürliche Zahl \(m\) so, dass gilt:
\(\qquad\)
\(\sqrt{n}=2\cdot m\)
Wir quadrieren und erhalten:
\(\qquad\)
\(n=(\sqrt{n})^2=(2\cdot m)^2 =4 \cdot m^2=2 \cdot (2\cdot m^2)\)
\(n\) lässt sich also schreiben als \(n=2\cdot k\) mit der natürlichen Zahl \(k=2\cdot m^2\).
Und somit haben wir gezeigt, dass auch \(n\) eine gerade Zahl ist.
\(\blacksquare\)
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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