Lernmodul: Beweisprinzipien

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Aufgabe 3

Zeigen Sie die folgende Aussage mit einem Beweis mit Kontraposition:
\(\qquad\)
Für alle \(a, b\in\mathbb{N}\) gilt:
\(\qquad\)
Wenn \(\dfrac{a+b}{a-b}\) unkürzbar ist, dann ist \(\dfrac{a}{b}\) unkürzbar.
Bilden der Kontraposition:
Beim Beweis mit Kontraposition müssen wir also zeigen:
\(\qquad\)
Wenn \(\dfrac{a}{b}\) nicht unkürzbar ist, dann ist \(\dfrac{a+b}{a-b}\) nicht unkürzbar.
Das ist gleichbedeutend mit der folgenden Aussage:
\(\qquad\)
Wenn \(\dfrac{a}{b}\) kürzbar ist, dann ist \(\dfrac{a+b}{a-b}\) kürzbar.
Beweis mit Kontraposition:
Sei \(\dfrac{a}{b}\) kürzbar. Dann besitzen \(a\) und \(b\) einen gemeinsamen Teiler \(k\) und wir können \(a\) und \(b\) mithilfe weiterer natürlicher Zahlen \(m\) und \(n\) wie folgt schreiben:
\(\qquad\)
\(a=k\cdot m\quad \) und \(\quad b=k\cdot n\)
Weiter erhalten wir für die Differenz \(a-b\) und die Summe \(a+b\):
\(\qquad\)
\(a-b=k\cdot m-k\cdot n=k(m-n)\qquad\)
und
\(\qquad\)
\(a+b=k\cdot m+k\cdot n=k(m+n)\qquad\)
Die Differenz \(a-b\) und die Summe \(a+b\) besitzen also den gleichen Teiler \(k\). Der Bruch \(\dfrac{a+b}{a-b}\) ist also kürzbar.
\(\blacksquare\)
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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