Es wird also gezeigt, dass die Annahme \(\sqrt{2}\) sei eine rationale Zahl, zu einem Widerspruch führt.

Wir nehmen an, \(\sqrt{2}\) ist rational. Dann lässt sich \(\sqrt{2}\) durch einen Bruch ganzer Zahlen darstellen:

Wir können annehmen, dass \(p\) und \(q\) teilerfremd sind, dass der Bruch also in gekürzter Form vorliegt. Andernfalls kürzen wir den Bruch solange durch gemeinsame Teiler von \(p\) und \(q\), bis der Bruch gekürzt ist.

Aus \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\) folgt nun durch Quadrieren

Durch Multiplikation mit \(q^2\) ergibt sich:

Also ist \(p^2\) gerade. Dann ist auch \(p\) selbst gerade, da \(2\) eine Primzahl ist.

\(p\) lässt sich also darstellen durch:

Wir setzen \(p=2k\) in die obige Gleichung ein und erhalten:

Nach Division durch \(2\) ergibt sich:

Wir sehen also, dass \(q^2\) gerade ist. Und da \(2\) eine Primzahl ist, ist auch \(q\) gerade.

Wir haben also gezeigt, dass sowohl \(p\) als auch \(q\) gerade Zahlen sind. Dies ist ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von \(p\) und \(q\).

Damit haben wir also die Annahme, dass \(\sqrt{2}\) rational ist, zu einem Widerspruch geführt. Es muss also das Gegenteil gelten.

\(\blacksquare\)