Äquivalenzbeweis Direkter Äquivalenzbeweis
Wird der Äquivalenzbeweis als direkter Beweis geführt, so gelangt man von der Voraussetzung durch Äquivalenzumformungen zur Behauptung. Das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen wurde bereits im Kurs "Gleichungen und Ungleichungen" erläutert. Wir möchten hier noch einmal aufführen, welche Umformungen zu den Äquivalenzumformungen zählen.
Merke:
Äquivalenzumformungen sind:
- Addition bzw. Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung
- Multiplikation bzw. Division eines Terms ungleich Null auf beiden Seiten der Gleichung
Beispiel:
Wir zeigen mithilfe eines direkten Äquivalenzbeweises und fehlerhafter Umformungen die folgende Behauptung:
\(\qquad\) | Für alle \(x,y\in\mathbb{Z}\) gilt: |
\(x+y=0\) |
Diese Behauptung stimmt nicht, wie wir leicht durch ein Gegenbeispiel sehen:
\(\qquad\) | \(3+2=5\ne 0\) |
Fehlerhafter direkter Äquivalenzbeweis:
Seien \(x\) und \(y\) ganze Zahlen und \(z=x+y\) ihre Summe. Dann bilden wir die folgende Äquivalenzkette:
| ||||||||||||||||
\(\blacksquare\) |
Wie können wir beweisen, dass die Summe zweier ganzer Zahlen \(0\) ist, wenn wir doch wissen, dass dies nicht der Fall ist? Wo liegt der Fehler im Beweis?
Der entscheidene Fehler liegt in der Division durch \((x+y-z)\) der vorletzen Zeile. Die Division durch einen Term ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Term ungleich \(0\) ist. Dies ist hier nicht der Fall, da nach Voraussetzung \(x+y=z\), also \(x+y-z=0\).
Ein weiterer falscher Rechenschritt liegt in der Multiplikation der 2. Zeile mit \(z\). Dies ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn wir ausschließen, dass \(z\) den Wert \(0\) annimmt.
Das Beispiel zeigt deutlich, dass man bei direkten Äquivalenzbeweisen darauf achten muss, welche Umformungen erlaubt sind und welche nicht.
Auch das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzrelation, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel:
Wir möchten die folgende Gleichung lösen:
\(\qquad\) | \(\sqrt{x^2+12}=2x\) |
Wir quadrieren die Gleichung und erhalten:
\(\qquad\) | \(x^2+12=4x^2\) |
Nun bringen wir die Terme mit \(x^2\) auf eine Seite und den konstanten Term auf die andere Seite. Wir erhalten:
\(\qquad\) | \(3x^2=12\) |
Wir dividieren durch \(3\) und ziehen die Wurzel:
\(\qquad\) | \(x^2=4\) |
\(x_1=2,x_2=-2\) |
Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung \(\sqrt{x^2+12}=2x\) ist jedoch nicht \(\mathbb{L}=\{-2,2\}\), wie die Probe zeigt. Die Lösung \(x_1=2\) ist eine Lösung der Gleichung, da gilt:
\(\qquad\) | \(\sqrt{2^2+12}=4=2\cdot 2\) |
Die Lösung \(x_2=-2\) ist keine Lösung der Gleichung, da gilt:
\(\qquad\) | \(\sqrt{(-2)^2+12}=\sqrt{16}=4\ne 2\cdot (-2) =-4\) |
Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung \(\sqrt{x^2-12}=2x\) ist \(\mathbb{L}=\{2\}\). Das Quadrieren einer Gleichung kann also die Anzahl möglicher Lösungen erhöhen. Nicht alle dieser Lösungen sind auch Lösungen der Gleichung.
\(\enspace\)