Direkter Äquivalenzbeweis Beispiel 1
Wir wenden uns nun wieder den Beweisprinzipien für Äquivalenzbeweise zu und führen für jedes Beweisprinzip ein Beispiel an.
Unser erstes Beispiel bezieht sich auf das folgende Beweisprinzip:
\((1)\quad\) | \((A\iff B) \iff ((A\implies B) \land (B \implies A))\) ist eine Tautologie |
Beispiel:
Wir zeigen den folgenden Satz:
\(\qquad\) | Für alle \(x\in\mathbb{Z}\) gilt: |
\(9 \mid x \iff 9 \mid 10x\) |
Die Schreibweise \(a \mid b\) bedeutet: \(a\) ist ein Teiler von \(b\).
Äquivalenzbeweis:
Sei \(x\in\mathbb{Z}\). Wir wollen die Äquivalenz \(A \iff B\) der folgenden Aussagen beweisen:
Zu diesem Zweck beweisen wir die Implikationen \(A \implies B\) und \(B \implies A\). Beweis zu \(A \implies B\): Sei also \(A\) wahr, d.h. sei \(9\) ein Teiler von \(x\). Dann teilt die Zahl \(9\) auch jedes Vielfache von \(x\), insbesondere das Vielfache \(10x\). Damit ist \(B\) bewiesen. | |||||
Beweis zu \(B \implies A\): | \(\blacksquare\) | ||||
Sei also \(B\) wahr, d.h. sei \(9\) ein Teiler von \(10x\). Dann existiert eine ganze Zahl \(k\) mit \(10x = 9k \). Wenn wir von dieser Gleichung \(9x\) subtrahieren, so erhalten wir \(x = 9 \cdot (k - x)\). Damit ist \(x\) das \(9\)-fache der ganzen Zahl \((k-x)\). Demzufolge ist \(x\) durch \(9\) teilbar und \(A\) ist bewiesen. | |||||
\(\blacksquare\) |
Wir haben hiermit die beiden Implikationen \(A \implies B\) und \(B \implies A\) bewiesen und damit auch die Äquivalenz \(A \iff B\).
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