Beispiel 1 Beispiel 2
Wir geben jetzt ein Beispiel für das folgende Beweisprinzip:
\((2)\quad\) | \((A \iff B) \iff ((A \implies B) \land (\lnot A \implies \lnot B))\) ist eine Tautologie |
Beispiel:
Wir zeigen den folgenden Satz:
\(\qquad\) | Für alle \(x\in\mathbb{R} \) gilt: |
\(x \le 2 \iff 3^x + x^3 \le 17 \) |
Äquivalenzbeweis:
Sei \(x\in\mathbb{R}\). Wir wollen die Äquivalenz der folgenden Aussagen beweisen:
Zu diesem Zweck beweisen wir die Implikationen \(A \implies B\) und \(\lnot A \implies \lnot B\). Beweis zu \(A \implies B\): Sei also \(A \) wahr, d.h. sei \(x \le 2\). Dann gelten die Ungleichungen \(3^x \le 9\) und \(x^3 \le 8\). Durch Addition dieser Ungleichungen erhalten wir \(3^x + x^3 \le 17\) und damit die Aussage \(B\). | |||||
Beweis zu \(\lnot A \implies \lnot B\): | \(\blacksquare\) | ||||
Sei also \(\lnot A\) wahr, d.h. sei \(x > 2\). Dann gelten die Ungleichungen \(3^x > 9\) und \(x^3 > 8\). Durch Addition dieser Ungleichungen erhalten wir \(3^x + x^3 > 17\) und damit die Aussage \(\lnot B\). | |||||
\(\blacksquare\) |
Wir haben hiermit die beiden Implikationen \(A \implies B\) und \(\lnot A \implies \lnot B\) bewiesen und damit auch die Äquivalenz \(A \iff B\).
\(\enspace\)