Beispiel 2 Beispiel 3
Wir geben jetzt ein Beispiel für das folgende Beweisprinzip:
\((3)\quad\) | \((A \iff B)\iff ((\lnot A \implies \lnot B ) \land (\lnot B \implies \lnot A))\) ist eine Tautologie |
Beispiel:
Wir zeigen die folgende Aussage:
\(\qquad\) | Für alle \(a\neq 0 \) gilt: |
\(u^2 + 3au = a\) ist unlösbar \(\quad \iff \quad\) \(v^2 + a^2v = 2a^4 + a^3\) ist unlösbar |
Äquivalenzbeweis:
Sei \(a\neq 0\). Wir wollen die Äquivalenz der folgenden Aussagen beweisen:
Zu diesem Zweck beweisen wir die Implikationen \(\lnot A \implies \lnot B\) und \(\lnot B \implies \lnot A\). Beweis zu \(\lnot A \implies \lnot B\): Sei also \(\neg A \) wahr. Dann ist die Gleichung \(u^2 + 3au = a\) lösbar. Sei \(u\) eine solche Lösung. Dann setzen wir \(v = au + a^2\). Für dieses \(v\) gilt die folgende Gleichungskette:
Damit ist die Gleichung \(v^2 + a^2v = 2a^4 + a^3\) durch \(v=au+a^2\) lösbar, d.h. \(\lnot B\) ist wahr. | ||||||||||||||||||||
Beweis zu \(\lnot B \implies \lnot A\): | \(\blacksquare\) | |||||||||||||||||||
Sei also \(\lnot B\) wahr. Dann ist die Gleichung \(v^2 + a^2v = 2a^4 + a^3\) lösbar. Sei \(v\) eine solche Lösung. Dann setzen wir \(u = \frac{v}{a} -a\). Wegen der Voraussetzung \(a\neq 0\) dürfen wir durch \(a\) dividieren. Für dieses \(u\) gilt die folgende Gleichungskette:
Damit ist die Gleichung \(u^2 + 3au = a\) durch \(u = \frac{v}{a} -a\) lösbar, d.h. \(\lnot A \) ist wahr. | ||||||||||||||||||||
\(\blacksquare\) |
Wir haben hiermit die beiden Implikationen \(\lnot A \implies \lnot B\) und \(\lnot B \implies \lnot A\) bewiesen und damit auch die Äquivalenz \(A \iff B\).
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