Lernmodul: Beweisprinzipien

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Aufgabe 2

Beweisen Sie folgende Eigenschaft von geraden und ungeraden Zahlen \(a\) und \(b\) mit \(a,b\in\mathbb{Z}\):
\(\qquad\)
\(a\cdot b\) ist ungerade
\(\quad\iff\quad\)
\(a\) ist ungerade und \(b\) ist ungerade
Hinweis: Eine Zahl \(k\in \mathbb{Z}\) heißt gerade, wenn \(2 \mid k\). Ansonsten heißt \(k\) ungerade.
Äquivalenzbeweis:
Seien \(a,b\in\mathbb{Z}\). Wir wollen die Äquivalenz \(A \iff B\) der folgenden Aussagen beweisen:
\(\qquad\)
\(A\enspace : \enspace a\cdot b\) ist ungerade
\(B \enspace : \enspace a\) ist ungerade und \(b\) ist ungerade
Zu diesem Zweck beweisen wir die Implikationen \(\lnot B \implies \lnot A\) und \(B \implies A\).
Beweis zu \(\lnot B \implies \lnot A\):
Die Implikation \(\lnot B \implies \lnot A\) lautet:
\(\qquad\)
\(a\) ist gerade oder \(b\) ist gerade
\(\quad\implies\quad\)
\(a\cdot b\) ist gerade
Um die Kontraposition \(\lnot B \implies \lnot A\) zu bilden, müssen wir \(A\) und \(B\) negieren. Die Negation von \(A\) lautet:
\(\qquad\)
\(\lnot A\enspace : \enspace \lnot(a\cdot b\) ist ungerade\()\)
Das enspricht der folgenden Aussage:
\(\qquad\)
\(\lnot A\enspace : \enspace a\cdot b\) ist gerade
Die Negation von \(B\) lautet:
\(\qquad\)
\(\lnot B\enspace : \enspace\lnot (a\) ist ungerade und \(b\) ist ungerade\()\)
Wir wenden die Regel von De Morgan an und erhalten:
\(\qquad\)
\(\lnot B\enspace : \enspace\lnot (a\) ist ungerade\()\) oder \(\lnot (b\) ist ungerade\()\)
Das bedeutet:
\(\qquad\)
\(\lnot B\enspace : \enspace a\) ist gerade oder \(b\) ist gerade\(\)
Angenommen, \(a\) sei gerade. Dann ist \(a=2\cdot m\) mit \(m\in \mathbb{Z}\). Nun bilden wir \(a\cdot b\):
\(\qquad\)
\(a\cdot b=2m\cdot b=2(\underbrace{m\cdot b}_{\large{n}})\)
mit \(n=m\cdot b \in \mathbb{Z}\). Daraus folgt also, dass \(a\cdot b\) gerade ist.
Wir hätten auch annehmen können, dass \(b\) gerade ist. Der Beweis wird dann analog geführt.
Beweis zu \(B \implies A\):
\(\blacksquare\)
Sei \(a\) ungerade, d.h. \(a=2m+1\) mit \(m\in\mathbb{Z}\). Sei \(b\) ungerade, d.h. \(b=2n+1\) mit \(n\in\mathbb{Z}\). 
Dann gilt für \(a\cdot b\):
\(\qquad\)
\(a\cdot b\ \)
\(=(2m+1)(2n+1)\)
\(=4mn+2n+2m+1\)
\(=2(\underbrace{2mn+n+m}_{\large{k}})+1\)
\(=2k+1\quad\) mit \(\quad k=2mn+n+m\in\mathbb{Z}\)
Und damit ist \(a\cdot b\) ungerade.
\(\blacksquare\)
Wir haben hiermit die beiden Implikationen \(\lnot B \implies \lnot A\) und \(B \implies A\) bewiesen und damit auch die Äquivalenz \(A \iff B\).
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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