Lernmodul: Beweisprinzipien

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Aufgabe 3

Beweisen Sie die folgende Aussage für die Mengen \(A\) und \(B\):
\(\qquad\)
\(A\subseteq B\)
\(\quad\iff\quad\)
\(A \cap B = A\)
Hinweis: Die Grundlagen von Mengen und ihren Beziehungen untereinander werden im Kurs "Mathematische Grundlagen" behandelt.
Äquivalenzbeweis:
Wir wollen die Äquivalenz \(\alpha \iff \beta\) der folgenden Aussagen beweisen:
\(\qquad\)
\(\alpha\enspace : \enspace A \subseteq B\)
\(\beta \enspace : \enspace A \cap B = A \)
Zu diesem Zweck beweisen wir die Implikationen \(\alpha \implies \beta\), d.h. aus \(A\subseteq B\) folgt \(A\cap B = A\), und \(\beta \implies \alpha\), d.h. aus \(A\cap B = A\) folgt \(A\subseteq B\).
Beweis zu \(\alpha \implies \beta\):
Sei \(A\subseteq B\). Es gilt ganz allgemein \(A \cap B \subseteq A\).
Umgekehrt, sei \(x\in A\). Da \(A \subseteq B\), folgt \(x\in B\). Also \(x\in A\cap B\).
Beweis zu \(\beta \implies \alpha\):
\(\blacksquare\)
Seien \(A \cap B=A\) und \(x\in A\).
Dann gilt \(x\in A\cap B\), da \(A\cap B=A\) ist, also \(x\in B\). Somit folgt \(A\subseteq B\).
\(\blacksquare\)
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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