Lernmodul: Beweisprinzipien

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Beispiel mit einer Summe

Es gibt viele Beispiele, für welche mathematischen Aufgabenstellungen man einen Beweis mit vollständiger Induktion führen kann. Wir wollen hier einige Beispiele aus den Bereichen Summen, Produkte, Ungleichungen, Teilbarkeit und Ableitungen vorstellen. Beginnen möchten wir dem Beweis einer Summenformel. Das Rechnen mit Summenzeichen wird im Lernmodul "Mathematische Sprache und Symbole" im Kurs "Mathematische Grundlagen" erklärt und geübt.
Beispiel:
Wir zeigen mit vollständiger Induktion die folgende Aussage für \(n\ge 1\):
\(\qquad\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{n}{n+1}\)
Zum besseren Verständnis der Aussage schauen wir uns die Entwicklung der Summe genauer an und stellen Summe und Formel gegenüber.
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\ldots +\dfrac{1}{n\cdot (n+1)}\)
\(\enspace n\enspace\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}\)
\(\dfrac{n}{n+1}\)
\(1\)
\(\dfrac{1}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{1+ 1}=\dfrac{1}{2}\)
\(2\)
\(\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{3+1}{6}=\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}\)
\(3\)
\(\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}=\dfrac{6+2+1}{12}=\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4}\)
\(4\)
\(\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 5}=\dfrac{30+10+5+3}{60}=\dfrac{4}{5}\)
\(\dfrac{4}{4+1}=\dfrac{4}{5}\)
Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang:
Linke Seite:
\(\qquad\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{1} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{1}{1\cdot (1+1)}=\dfrac{1}{2}\)
Rechte Seite:
\(\qquad\)
\(\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)
Der Induktionsanfang ist somit gezeigt.
Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
\(\qquad\)
Wir nehmen an, dass für ein festes, aber beliebiges \(n\) gilt:
\(\qquad\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n}\normalsize \dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{n}{n+1}\qquad (*)\)
Induktionsbehauptung:
\(\qquad\)
Wir behaupten, dass dann auch gilt:
\(\qquad\)
\(\sum\limits_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{n+1}{(n+1)+1}=\dfrac{n+1}{n+2}\)
Induktionsbeweis:
\(\qquad\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n+1} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\Bigg(\underbrace{\large\sum\limits_{i=1}^{n} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}}_{(*)}\Bigg)+\left(\large\sum\limits_{i=n+1}^{n+1} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}\right)\)
\(\qquad\)
Wir setzen für die Summe \(\large\sum\limits_{i=1}^{n} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}\) den Ausdruck \(\dfrac{n}{n+1}\) ein, wie in der Induktionsvoraussetzung \((*)\) angegeben:
\(\qquad\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n+1} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{n}{n+1}+ \dfrac{1}{(n+1)\cdot (n+2)} \)
\(\qquad\)
Nun bringen wir den linken Bruch auf den Hauptnenner \((n+1)\cdot (n+2)\):
\(\qquad\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n+1}\normalsize \dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{n\cdot (n+2)}{(n+1)\cdot (n+2)}+ \dfrac{1}{(n+1)\cdot (n+2)}\)
\(\qquad\)
Wir fassen die beiden Brüche zusammen und schreiben den Zähler mithilfe der 1. binomischen Formel um:
\(\qquad\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n+1} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{n^2+2n+1}{(n+1)\cdot (n+2)}\) \(=\dfrac{(n+1)^2}{(n+1)\cdot (n+2)}\)
\(\qquad\)
Wir kürzen \((n+1)\) und erhalten:
\(\qquad\)
\(\large\sum\limits_{i=1}^{n+1} \normalsize\dfrac{1}{i\cdot (i+1)}=\dfrac{n+1}{n+2} \)
\(\qquad\)
Dies ist genau die Induktionsbehauptung.
Durch den Induktionsbeweis haben wir gezeigt, dass der Induktionsschritt richtig ist und die Aussage nun wegen der vollständigen Induktion für alle \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n\ge 1\) wahr ist.
\(\blacksquare\)
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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