Show Advanced KnowledgeHide Advanced KnowledgeBeispiel mit einem Produkt
Wir zeigen nun ein Beispiel für einen Beweis einer Produktformel mithilfe der vollständigen Induktion. Zum Rechnen mit dem Produktzeichen wird auf das Lernmodul "Mathematische Sprache und Symbole" im Kurs "Mathematische Grundlagen" verwiesen.
Beispiel:
Wir zeigen mit vollständiger Induktion die folgende Aussage für \(n\ge 2\):
\(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{n}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\) |
Zum besseren Verständnis der Aussage schauen wir uns die Entwicklung des Produkts genauer an und stellen Produkt und Formel gegenüber.
\(\large\prod\limits_{i=1}^{n} \normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right) =\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\)
\(\enspace n\enspace\) | \(\large\prod\limits_{i=1}^{n} \normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right) \) | \(\dfrac{n+1}{2n}\) |
\(2\) | \(1-\dfrac{1}{2^2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\) | \(\dfrac{2+1}{2\cdot 2}=\dfrac{3}{4}\) |
\(3\) | \(\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\) \(=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\) | \(\dfrac{3+1}{2\cdot 3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\) |
\(4\) | \(\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\) \(=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{15}{16}=\dfrac{5}{8}\) | \(\dfrac{4+1}{2\cdot 4}=\dfrac{5}{8}\) |
Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: Linke Seite: \(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{2}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=1-\dfrac{1}{2^2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\) |
Rechte Seite: \(\qquad\) | \(\dfrac{2+1}{2\cdot 2}=\dfrac{3}{4}\) |
Der Induktionsanfang ist somit gezeigt. | |
Induktionsschritt: Induktionsvoraussetzung: \(\qquad\) | Wir nehmen an, dass für ein festes, aber beliebiges \(n\) gilt: |
\(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{n}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\qquad (*)\) |
Induktionsbehauptung: \(\qquad\) | Wir behaupten, dass dann auch gilt: |
\(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{n+1}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=\dfrac{(n+1)+1}{2\cdot (n+1)}=\dfrac{n+2}{2\cdot (n+1)}\) |
Induktionsbeweis: \(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{n+1}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=\Bigg(\underbrace{\large\prod\limits_{i=2}^{n}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)}_{(*)}\Bigg)\cdot\left(\large\prod\limits_{i=n+1}^{n+1}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)\right)\) |
\(\qquad\) | Wir setzen für das Produkt \(\large\prod\limits_{i=2}^{n}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)\) den Ausdruck \(\dfrac{n+1}{2n}\) ein, wie in der Induktionsvoraussetzung \((*)\) angegeben: |
\(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{n+1}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\cdot \left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right) \) |
\(\qquad\) | Nun bringen wir den Klammerausdruck auf den Hauptnenner \((n+1)^2\): |
\(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{n+1}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\cdot \dfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2} \) |
\(\qquad\) | Wir vereinfachen den Zähler des rechten Bruchs: |
\(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{n+1}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\cdot \dfrac{n^2+2n+1-1}{(n+1)^2}=\dfrac{n+1}{2n}\cdot \dfrac{n^2+2n}{(n+1)^2} \) |
\(\qquad\) | Wir klammern \(n\) im Zähler des rechten Bruchs aus und kürzen die Faktoren \(n\) und \((n+1)\): |
\(\qquad\) | \(\large\prod\limits_{i=2}^{n+1}\normalsize\left(1-\dfrac{1}{i^2}\right)=\dfrac{n+1}{2n}\cdot \dfrac{n\cdot (n+2)}{(n+1)^2}= \dfrac{n+2}{2(n+1)} \) |
\(\qquad\) | Dies ist genau die Induktionsbehauptung. |
Durch den Induktionsbeweis haben wir gezeigt, dass der Induktionsschritt richtig ist und die Aussage nun wegen der vollständigen Induktion für alle \(n\in\mathbb{N}\) mit \(n\ge 2\) wahr ist. | |
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Beispiel mit einer Summe